1、 概率统计 下页 结束返回 4.3 协方差和相关系数1. 协方差4.4 矩和协方差矩阵2. 相关系数下页前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差 ,对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的 “ 协方差和相关系数 ” . 概率统计 下页 结束返回任意两个随机变量 X和 Y的协方差 ,记为 Cov(X,Y), Covariance 定义为 Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) Cov(X,Y)= Cov(Y,X)一、协方差2.简单性质 Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y
2、-E(Y) 1.定义下页 概率统计 下页 结束返回Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若 X与 Y独立， Cov(X,Y)= 0 .3. 计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)即下页 概率统计 下页 结束返回若 X1,X2, , Xn两两独立 ,，D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y)4. 随机变量 和的方差与协方差的关系下页 概率统计 下页 结束返回二 、相关系数为随机变量 X和 Y的相关系数
3、 .定义 : 设 D(X)0, D(Y)0, 称在不致引起混淆时，记 为 .下页当 r = 0时，称 X与 Y是不相关的 . 概率统计 下页 结束返回例 1. 设 (X,Y)的联合分布如右表，求 Cov(X,Y) ,XY .解： 计算得 E(X) = 2 , E(Y) = 2 ,E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2 , D(X) =1/2 , D(Y) = 1/2 ,Cov(X,Y) = 23/6 4 = - 1/6 ,1/4 1/2 1/4 Y 1 2 31 0 1/6 1/122 1/6 1/6 1/63 1/12 1/6 0X1/41/21/41）相关系数的计算下页于是得
4、概率统计 下页 结束返回例 2. 设随机变量 X的方差 D(X) 0, 且 Y=aX+b(a 0),求 X和 Y的相关系数 XY .解：下页 概率统计 下页 结束返回2. X和 Y独立时， =0， 但其逆不真 .由于当 X和 Y独立时， Cov(X,Y)= 0.故 = 0但由 并不一定能推出 X和 Y 独立 .请看下例 .2）相关系数的性质及其与独立性的关系下页 概率统计 下页 结束返回例 3. 设 X服从 (-1/2, 1/2)内的均匀分布 ,而Y=cos (X)， 求 X， Y的相关系数 .因而 =0， 即 X和 Y不相关 .但 Y与 X有严格的函数关系， 即 X和 Y不独立 .解： 显然 E(X)=0, 而相关系数刻划了 X和 Y间 “线性相关 ”的程度 .下页 概率统计 下页 结束返回但对下述情形，独立与不相关等价 .显然 ，若 X与 Y独立，则 X与 Y不相关，但由 X与 Y不相关，不一定能推出 X与 Y独立 .下页
