1、胡寿松自动控制原理习题解答第二章 2 1 设 水 位自动控制系统的原理方案如图 1 18 所示， 其 中 Q1 为水箱的进水流量， Q2 为水箱的用水流量， H 为水箱中实际水面高度 。 假定水箱横截面积为 F， 希望水面高度 为 H 0 ， 与 H 0 对应的水流量为 Q0 ， 试 列 出 水箱的微分方程。 解 当 Q1 Q2 Q0 时 ， H H 0 ； 当 Q1 Q2 时 ， 水面高度 H 将发生变化 ， 其变化率与流量差 Q1 Q2 成 正比，此时有 F d (H H 0 ) (Q Q ) (Q Q ) dt 1 0 2 0于是得水箱的微分方程为 F dH Q Q dt 1 22 2
2、设 机 械系统如图 2 57 所示 ， 其中 xi 为输入位移， x0 为输出位移。试分别列写各系统的微分方程式 及传递函数。 图 2 57 机械系统 解 图 2 57(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 2 1 f1 ( x 解：对上式两边去拉氏变换得： （ 2s+1） X（ s） =1/s2 X (s) 1 1 s 2 (2s 1) s 2 1 s 4 2s 1 运动模态 e 0.5t 所以： x(t ) t 2(1 e 1 t 2 ) ( ) &x&(t ) x&(t ) x(t) (t） 。 解：对上式两边去拉氏变换得： (s 2 s 1)
3、X (s) 1 X (s) 1 (s 2 s 1) 1 (s 1/ 2) 2 3 / 4 运动模态 e t / 2 sin 2 所以： x(t ) 2 e t / 2 3 sin 2 （ 3） &x&(t ) 2x&(t ) x(t ) 1(t）。 解：对上式两边去拉氏变换得： (s 2 2s 1) X (s) 1 X (s) s 1 s(s 2 2s 1) 1 s(s 1) 2 1 s 1 s 1 1 (s 1) 2 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 0 0 0 运动模态 e t (1 t ) 所以： x(t ) 1 e t te t 1 e t (1 t) 2-6 在液压系统管道中，设通过
4、阀门的流量满 足如下流量方程： Q K P 式中 K 为比例 常 数， P 为阀门 前 后的压差 。若 流量 Q 与压差 P 在 其平衡点 (Q0 , P0 ) 附 近 作微小变 化， 试导出 线 性化 方程。 解： 设正常工作点为 A，这时 Q0 K P0 在该点附近用泰勒级数展开近似为： y f ( x ) df ( x) ( x x ) 0 dx 0 x0 即 Q Q0 K1 (P P0 ) dQ 其中 K1 dP 1 K 1 2 P P P 2-7 设弹簧特性由下式描述： F 12.65 y1.1 其中，是弹簧力；是变形位移。若弹簧在变形位移附近作微小变化，试推导的线性化方程。 解：
5、设正常工作点为 A，这时 F 12.65 y1.1 0 0 在该点附近用泰勒级数展开近似为： y f ( x ) df ( x) ( x x ) 0 dx 0 x0 即 F F0 K1 ( y y0 ) dF 其中 0.1 0.1 K1 12.65 1.1y0 13.915 1.1y0 dy y y0 2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角，输出量为空载整流电压，它们之间的关系为： ed Ed cos胡寿松自动控制原理习题解答第二章 式中是整流电压的理想空载值，试推导其线性化方程式。 解： 设正常工作点为 A，这时 Ed Ed 0 cos 0 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 s
6、 0 2 在该点附近用泰勒级数展开近似为： y f ( x ) df ( x) ( x x ) 0 dx 0 x0 即 ed Ed cos 0 K s ( 0 ) 其中 K ded d Ed 0 sin 0 2-9 若某 系 统在阶 跃 输 入 r(t)=1(t)时 ， 零初始 条件 下的输 出 响应 c(t) 1 e 2t e t ， 试求系 统的 传递函 数 和 脉 冲 响应。 解：对输出响应取拉氏变换的： C (s) 1 1 1 s 2 4s 2 因为： C (s) (s)R(s) 1 (s) s s 2 s 1 s(s 1)(s 2) s 所以系统的传递函数为： (s) s 2 4s
7、2 (s 1)(s 2) 1 s (s 1)(s 2) 1 1 s 1 2 s 2 系统的脉冲响应为： g (t ) (t) e t e 2t 2-10 设系统传递函数为 C (s) R(s) 2 s 2 3s 2 且初始条件 c(0)=-1, c& (0)。试求阶跃输入 r(t)=1(t)时，系统的输出响应 c(t)。 解：由系统的传递函数得： d c(t) 3 dc(t) 2c(t ) 2r (t ) （ 1） dt 2 dt 对式（ 1）取拉氏变换得： s 2 C (s) sc(0) c&(0) 3sC (s) 3c(0) 2C (s) 2R(s) 将初始条件代入（ 2） 式得 (s 2
8、 3s 2)C (s) s 3 2 1 s （ 2） 即： C (s) 2 s 2 3s s(s 2 3s 2) 2 2s 6 s s 2 3s 2 1 s 4 s 1 2 s 2 所以： c(t) 2 4e t 2e 2t 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 0 R 2-11 在图 2-60 中，已知和两方框相对应的微分方程分别是 6 dc(t ) 10c(t) 20e(t ) dt 20 db(t) 5b(t ) 10c(t) dt 且初始条件均为零，试求传递函数 C (s) / R(s) 及 E(s) / R(s) 解：系统结构图及微分方程得： G(s) 20 6s 10 H (s) 10
9、 20s 5 10 20 E (s) 10 10 C (s) 10G(s) 6s 10 R(s) 1 G(s)H (s) 20 10 R(s) 1 G(s)H (s) 1 20 10 1 6s 10 20s 5 6s 10 20s 5 10(20s 5)(6s 10) 1200s 2 1500s 500 200(20s 5) 200(20s 5) (6s 10)(20s 5) 200 120s 2 230s 250 (6s 10)(20s 5) 200 120s 2 230s 250 2-12 求图 2-61 所示有源网络的传递函数 1 解：（ a） Z 0 R0 / C s R 1 C0 s
10、 1 R0 T s 1 T0 R0 C0 0 0 0 C0 s 胡寿松自动控制原理习题解答第二章 R 0 0 R 1 1 1 1 U 0 (s) R1 R1 (T s 1) U i (s) Z 0 0 （ b） Z 0 R0 / 1 C s R 1 C0 s 1 R0 T s 1 T0 R0 C0 0 0 0 C0 s Z R 1 T1 s 1 T R C C1 s C1 s 1 1 1 U 0 (s) Z1 1 (T s 1)(T s 1) U (s) Z R C s 1 0 i 0 0 1 Z12 R1 /( R2 1 C2 s ) R1 / T2 s 1 C2 s （ c） R T2 s 1 C2 s R1 (T2 s 1) T2 R2 C2 R T2 s 1 C2 s T2 s R1 1 U 0 (s) Z12 R1 T2 s 1 U i (s) R0 R0 T2 s R1 1 2-13由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图 2-62所示，试求闭环传递函数 U ( ) ( )。 图 2-62 控制系统模拟电路 解： U1 (s) Z1 （ 1） U 2 (s) Z 2 （ 2） U 0 (s) R2 （ 3） U 0 (s) U i (s) R0 U1 (s) R0 U 2 (s) R0 式（ 1）（ 2）（ 3）左右两边分别相乘得
