1、第 6章 向量代数与空间解析几何 一、内容提要 （一）主要定义1.=ax i+ ay j+ az k 的模为2. a=ax i+ ay j+ az k , b= bx i+ by j+ bz k 数量积 (点积 )为： a b=a b cos(a b)向量积 (叉积 )为： a b, 其模为 a b =a b sin(a b)其方向服从右手法则3.混合积： abc= (a b) c方向余弦为（二）主要结论 1.设 a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz), 则a b= axbx+ayby+azbz2.平面方程(1) 一般式 Ax + By +
2、 Cz + D = 0.(2) 点法式 A(x - x0) +B (y - y0) +C (z - z0) = 0.(3) 截距式(4) 三点式 过 M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), (5) 法式方程 cos x+ cos y+ cos z + p = 0式中 cos , cos, cos为平面上点 (x, y, z) 处法向量的方向余弦 , p 为原点到平面的距离 .M3(x3, y3, z3), 的平面方程为3.直线方程(1)一般式 (2) 对称式(3) 参数式(4) 向量式 r=r0+st . 式中 (5) 两点式4.点到平面的距离5.重要的二次曲面(1)
3、球面 (x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2 =R2(2) 椭球面(3) 锥面(4) 椭圆抛物面(5) 双曲抛物面 ( p, q异号 ).(6) 柱面 F ( x, y )=0(7) 单叶双曲面(8) 双叶双曲面6.夹角(1) 两平面的夹角 设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2 : A2x +B2y +C2z+D2=0,(2) 两直线的夹角 (3) 直线与平面的夹角 设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0,（三）结论补充 1.非零向量 a, b互相垂直的充要条件是 a b=0, 互相平行的充要条件是 a b=0.2.非零向量 a, b, c共面的充要条件是 (a b
4、) c=0.3.过两平面 A1x+B1y+C1z+D1=0与 A2x+B2y+C2z+D2=0交线的平面束方程为 :5.Prj(a+b)=Prja+Prjb, (A1x+B1y+C1z+D1)+ (A2x+B2y+C2z+D2) = 0.4.设 M0是直线 L外一点 , M是直线 L上任一点 , 且直线的方向向量为 s, 则 M0到直线 L的距离8. 空间异面直线 L1, L2的方向向量为 s1, s2, A, B分别为 L1, L2上的两点 , 则 L1与 L2之间的距离为 :6. 向量积的运算 (1) a (b c) = (a c) b - (a b) c(2) (a b) c = (a
5、c) b - (c b) a(3) a (b c) + b (c a) +c (a b) = 0 7. 不共线的空间三点 A, B, C所决定的平面面积为 :二、归类解析 （一）向量代数例 6-1 设 2a+5b与 a-b垂直 , 2a+3b与 a-5b垂直 , 求 (a b).例 6-2 设 A=2a+b, B=ka+b, 其中 a =1, b =2, 且 a b,例 6-3 从点 A(2, -1, 7)沿向量 =8i+9j-12k的方向取线段长 AB =34, 求点 B的坐标 .试问 : (1) k为何值时 , A B;(2) k为何值时 , 以 A, B为邻边的平行四边形的面积为 6.例 6-4 已知 p, q 和 r 两两垂直 , 且 p =1, q =2, r =3,求 s=p+q+r的长度 .例 6-5 已知 p =2, q =3, (pq)=/3, 求以 A=3p-4q和 B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长 .例 6-6 证明恒等式 (a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b) c. 例 6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于一点 .
