1、一种顾及起始数据误差影响的最小二乘平差方法摘要: 本文针对顾及起始数据误差对平差结果的影响,运用最小二乘原理, 推导出一组适用公式,与以往的平差中所采用的逐次相关平差法,以及推估拟合 平差法等相比,具有公式简单,便于微机编程的特点,并结合水准网平差的实际算 例,验证了该组公式的正确性和可行性. 关键词: 起始数据误差;最小二乘原理;平差 Abstract: This paper considering the effect of initial data errors on the result of adjustment, by applying the principle of least
2、 squares, a set of applicable formulas are deduced, and the correlative flat the previous adjustment of difference method, and to estimate the fitting adjustment method compared with formula, simple, easy to programming, and combined with the standard adjustment of actual examples, to verify the cor
3、rectness and feasibility of the formula.Keywords: initial data error; the principle of least squares； adjustment 中图分类号：S771.4 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013） 0 引言 在各类控制网中,为了确定控制网的尺度和定向,网中都要有必要的起算数据,由于起算数据与观测数据相比较,一般都有较高的精度,若按微误差标准,当观测值误差大于或等于 3 倍的起算数据误差时,可忽略起算数据对平差结果的影响,把它们视为无误差的固定值,但实际上仍然含有一定误差,若作强制附合
4、处理,将会使控制网发生扭曲或变形,对网中的不同类型的观测值的综合处理和平差结果以及可靠性分析都是不利的,只有顾及起算数据对所求量的影响,才能全面地反映所求结果的精度. 顾及起始数据误差的影响,在以往的平差中大都采用逐次相关平差法,或者推估拟合平差法等,本文运用最小二乘原理,结合水准网平差,谈一下顾及起始数据误差影响的另一种平差方法. 1 平差的数学模型 11 条件平差 设:某平差问题中有起始数据为,其协因数矩阵为,它们是从上一级控制网平差得到或是直接确定的,已知本级控制网的观测值及其权阵,必要观测值个数为 t,条件方程式个数 r=n-t. 条件方程式为:+ =0 - 式中:a 为观测值改正数系
5、数矩阵,b 为起始数据改正数系数矩阵, 为观测值改正数矩阵, 为含有误差的起始数据改正数矩阵, W 为自由项矩阵. 设: A=(a b), V=.则: 误差方程式可以写为: AV+W=0- 由最小二乘原理可得: 法方程式: AAK+W=0- 改正数:V=AK - 在上述,式中: = 其中 为观测值权逆矩阵, 为起始数据在本级网的协因数矩阵. =/- 式中: 为上级网单位权中误差,为本级网单独平差时单位权中误差, 为起始数据在上级网平差后的协因数阵的逆矩阵. 将上述,各式进行归纳得到基础方程式为: 改正数条件方程式:+ =0 法方程式: (a a+b b/)k +w=0 改正数: = ak =k
6、/ 单位权中误差=vv/(n-t) =(vv+v) /(n-t) 1.2 间接平差 误差方程的矩阵表达式为: v=bx+ - 式中: =L-AX+BX+L- X 为未知数的近似值,X 为具有误差的起始数据值, L,L 为常数,为自由项. 由式得的协因数矩阵为: Q=Q+B QB= Q+B /B - 式中: 为上级网单位权中误差,为本级网单独平差时单位权中误差, 为起始数据在上级网平差后的协因数阵的逆矩阵, Q 为起始数据在本级网的协因数矩阵,Q 为本级网观测值权倒数, 由最小二乘原理可得: 法方程式: (AQA)x+A Q=0 即: 未知数 x=-(A QA) A Q- 将上述,各式进行归纳得
7、到基础方程式为: 误差方程的矩阵表达式为:v=bx+ 法方程的矩阵表达式:(AQA)x+A Q=0 改正数方程式 : x=-(A QA) A Q =-(A( Q+B /)BA) A( Q+B /B) 水准网平差算例 本文的算例选自文献三中 96 页的例5-1 某一水准网,图(一)中 A、B、C 为已知点,P 为待定点,观测高差的权阵为 P=E;已知点高程=10.549m,H=10.653m,H=11.774m,观测高差:h=+0.464m,h=+0.367m, =-0.749m,起算数据协因数阵为:, 单位权中误差=3.6mm/km,本级网单独平差的单位权中误差=3.6mm/km;试计算各点平
8、差值及平差后的单位权中误差. 2.1 平差计算实例: 解:以条件平差法为例 条件方程式-+0+-+0 +=0 +0-+0-+=0 式中:=+-=-7mm ,=+-=-5mm. 条件方程系数阵:= ,= 令:A=,则条件方程式为+W=0 若观测值权逆矩阵为,起始数据的协因数矩阵为 =, = =/=3.6*/3.6= 法方程式系数阵: N=A=+ =*+ *=+= 自由项系数: W= 法方程式: * +=0 解得: =1.5, =0.5 改正数计算: 观测值改正数:= ak 即: =*= 起算数据改正数: =k/ 即:=*= 各点高程的平差值为: =10.551m H=10.6515m H=11.
9、7735m=10.107m 单位权中误差 =vv/(n-t) =(vv+v) /(n-t) =13/2=2.55mm 3 结论 将采用上述平差方法计算的算例与文献（三）中所采用顾及起始数据误差影响的水准网平差的例题相比较, 对同一个平差问题,虽然采用的平差方法不同,但其平差结果却完全相同,这就说明了顾及起始数据误差影响的最小二乘平差方法的正确性和可行性;该方法既可用于高程控制网平差,同样也可用于平面控制网平差,不但适用于顾及起始数据误差的影响的情形,而且更适用于在两级或多级同级网布设,即所谓的逐次相关平差方法,并且该公式简单明了,更适合于电算编程. 参考文献: 於宗俦.鲁林成.测量平差基础M.测绘出版社.1978. 陶本藻.顾及起始数据误差估计控制网元素精度的拟合推估法J.测绘技术,1986. 姚应生.董烈镛. 测量误差检验与数据处理M.煤矿工业出版社.1991.
