1、1【教学课题】：2.1 导数的概念（第一课时）【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。 【教学重点】：在一点处导数的定义。【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。【教学过程】：一）导数的思想的历史回顾导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton）和德
2、国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。二）两个来自物理学与几何学的问题的解决问题 1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为： ， ，求：落体在 时刻（ ）的瞬时速度。2()stgt0,T0t0,tTt0t问题解决：设 为 的邻近时刻，则落体在时间段 （或 ）上的平均速度为t0 0,t0,t0()stv若 时平均速度的极限存在，则极限0t00()limtstv为质点在时刻 的瞬时速度。0t问题 2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线2上点 ，求： 点处切线的斜率。)(xfy0(,)My下面给出切线的一般
3、定义；设曲线 及曲线 上的一点 ，如图，在 外 上另外CMC取一点 ，作割线 ，当 沿着 趋近点 时，如果割线 绕点 旋转而趋于极NNN限位置 ，直线 就称为曲线 在点 处的切线。T问题解决：取在 上 附近一点 ，于是割线 PQ 的斜率为CM(,)Nxy（ 为割线 的倾角）00tanyfxMN当 时，若上式极限存在，则极限0x（ 为割线 的倾角）00()tanlimxfxkT为点 处的切线的斜率。M上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问题的解决都归结到求形如（1）0()li0xfx）的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线
4、密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。 三）导数的定义定义 设函数 在 的某邻域内有定义，若极限)(xfy00()lim0xfx）存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为 在点 处的导数，记作 。即f0xf )(0xf（2）00()()lixxf）3也可记作 ， ， 。若上述极限不存在，则称 在点 处不可导。oxyoxd()oxf f0x在 处可导的等价定义：f0设 ，若 则等价于 ，如果,)(00ff0x函数 在点 处可导，可等价表达成为以下几种形式： fx00)()limxfx） 0()limxyf（3）
5、 000()()lixfffx）（4） 000()()limfff）（5）四）利用导数定义求导数的几个例子例 1 求 在点 处的导数，并求曲线在点 处的切线方程。2)(xf1)1,(解 由定义 2 000()()()limlilimxx xyfff)2(li2li020xx于是曲线在 处的切线斜率为 2，所以切线方程为 ，即 。)1,( )1(2xy12xy例 2 设函数 为偶函数， 存在，证明： 。fx()f 0f证 ()x又 0 0)(limlimx xfffff0 0()()(0li li ()x xfffxff()f注意： 这种形式的灵活应用。此题的 为 。000()(limfffx）
6、 x4例 3 讨论函数 在 处的连续性，可导性。1sin,0()xfx解 首先讨论 在 处的连续性：()fx001lim()lisn(0)xxf f即 在 处连续。()fx0再讨论 在 处的可导性：()fx此极限不存在0 001sin1limlmlisnx xxff即 在 处不可导。()f问 怎样将此题的 在 的表达式稍作修改，变为 在 处可导？()fx0()fx0答 ，即可。1sin,()fxx1,23四）可导与连续的关系由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设 在点 可导，则)(xf0)(lim00xfyx由极限与无穷小的关系得：，)()(0 of所以当 ，有 。即 在点 连续。x0
7、y故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。 五）单侧导数的概念例 4 证明函数 在 处不可导。|)(xf0证明 ，1limli00xx 1lim0)(li00 xxfx极限不存在。0()limxf故 在 处不可导。|f在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：定义 设函数 在点 的某右邻域 上有定义，若右极限)(xfy0),(0x5（ ）000()(limlixxfxfy） x存在，则称该极限为 在点 的右导数，记作 。f 0f左导数 。0()lixy左、右导数统称为单侧导数。导数与左、右导数的关系：若函数 在点 的某邻域内有定义，则 存)(xf0 )(0xf在 ， 都存在，且 = 。)(0xf)(0f0例 5 设 ，讨论 在 处的可导性。 , cos1xf )(xf0解 由于 0cos1lim)(lim)0( 000 xxfff xx li)(li)( 000 fff xx从而 ，故 在 处不可导。0ff)(fx六） 小结:本课时的主要内容要求： 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义； 注意 这种形式的灵活应用。000()()limfxfxfx） 明确其实际背景并给出物理、几何解释； 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数； 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。
