1、- 1 -勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一” ，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前 572?公元前 497?）于公元前 550 年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数
2、学家欧几里得（Euclid，公元前 330公元前 275）在巨著几何原本（第卷，命题 47）中给出一个很好的证明。（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于 3，另一条直角边股等于 4 的时候，那么它的斜边弦就必定是 5。这个原理是
3、大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾 3 股 4 弦 5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。- 2 -在稍后一点的九章算术一书中（约在公元 50 至 100 年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明
4、的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图” ，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图） 。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重
5、大意义。勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达 400 多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。【证法 1】 （赵爽证明）以 a、b 为直角边（ba） ， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. RtDAH RtABE, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90. EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于 2ab.ba
6、c GDACBFEH- 3 -ab abccA BCDE 2214cab 2a.【证法 2】 （课本的证明）做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 abc2142142 ， 整理得 .【证法 3】 （1876 年美国总统 Garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、 B 三点在一条直线上. R
7、tEAD RtCBE, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于21c.又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. ABCD 是一个直角梯形，它的面积等 于 2211caba. 2cb.【趣闻】：在 1876 年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好babab abacbacb
8、a cbacbacbacba2ba- 4 -奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是 5 呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为 5 和 7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5 的平方加上 7 的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽
9、菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年 4 月 1 日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。1881 年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。【证法 4】 （欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过 C 作 CLDE，交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. AF = AC，AB = AD，FAB
10、= GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于21a，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 = .同理可证，矩形 MLEB 的面积 = 2b. 正方形 ADEB 的面积 = 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 22bac ，即 22cba.【证法 5】 （利用相似三角形性质证明）如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过点 C 作CDAB，垂足是 D. 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90，CAD = BAC， ADC ACB. ADAC = AC AB，即 AB
11、DC2.同理可证，CDB ACB，cbacbaA BCD EFGHMLKA BDCacb- 5 -从而有 ABDC2. 2A，即 22cba【证法 6】 （邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. RtHAE RtEBF, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于
12、 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90.又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 2ba. 2214cba. .【证法 7】 （利用切割线定理证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 如图，以 B 为圆心 a 为半径作圆，交 AB 及 AB 的延长线分别于 D、E，则 BD = BE = BC = a. 因为BCA = 90，点 C 在B 上，所以 AC 是B 的切线. 由切割线定理，得 AE
13、C2=BAE=ac= 2，D G CFAHE Babcabcab c abcabaa B ACE Dc- 6 -即 22acb， 22cb.【证法 8】 （作直角三角形的内切圆证明）在 RtABC 中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边 AB = c. 作 RtABC 的内切圆O，切点分别为 D、E、F（如图） ，设O 的半径为 r. AE = AF，BF = BD，CD = CE， BFACDBEABCA= = r + r = 2r,即 rcba2， crba2. 2，即 224cr， abSABC1， ，又 AOCBAOBCSS = bracr21= rca= rc21= 2， A
14、BCr4， abc2， 2ca， 22.勾股定理的应用一、填空题1在 RtABC 中，C=90，若 a=5，b=12，则c=_；若 a=8，c=10，则 b=_；若 c=61，b=60，则 a=_；c bar rrOFED CBAABC20m5- 7 -若 ab=34，c=10 则 SABC =_。2如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点 C 偏离欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，求该河流的宽度为_。3如图，OAB=OBC= OCD=90， AB=BC=CD=1，OA=2，则 OD2=_.4已知直角三角形两直角边的长分别为 3cm,4cm,第三边上的高为_.5
15、等腰ABC 中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则 BC 边上的高 AD=_。6在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，问这里水深是 _m。在 ABC 中,若 AB2 + BC2 = AC2,则A + C 。.如图，直角三角形的两直角边长分别是 6cm 和 8cm，则带阴影的正方形面积是 。如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm,则正方形A，B，C，D 的面积之和为_cm 2。在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A
16、 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。二选择题已知一个 Rt的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25OABCDABCD7cmDBC A- 8 -在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为 8、2，则较长直角边长为（ ）A.5 B .4 C.3 D.2 如图，在水塔 O 的东北方向 32m 处有一抽水站 A,在水塔的东南方向 24m处有一建筑工地 B，在 AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A45cm B40cm C50cm D56cm小丰妈妈买了一部 29 英
17、寸(74cm)电视机,下列对 29 英寸的说法中正确的是A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度;C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度已知，如图长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为（ ）A、6cm 2 B、8cm 2 C、10cm 2 D、12cm 2已知，如图，一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行，另一轮船以 12 海里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行，离开港口 2 小时后，则两船相距（ ）A、25
18、 海里 B、30 海里 C、35 海里 D、40 海里如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是（ ）（A）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对男孩戴维是城里的飞盘冠军，戈里是城里最可恶的踩高跷的人，两人约定一比高低戴维直立肩高 1.5 米，他投飞盘很有力，但需在 13 米内才有威力；戈里踩高跷时鼻子离地 6.5 米，他的鼻子是他惟一的弱点戴维需离戈里( )远时才能刚好击中对方的鼻子而获胜A. 13 米 B12 米 C. 8 米 D5 米A东南西 北ABEFDC北南A 东ABC- 9 -三解答题在某一平地上，有一棵树高 8 米的大树，一棵树高
19、3 米的小树，两树之间相距 12 米。今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）如图，A 城气象台测得台风中心在 A 城正西方向 320km 的 B 处，以每小时 40km 的速度向北偏东 60的 BF 方向移动，距离台风中心 200km 的范围内是受台风影响的区域。（1） A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2） 若 A 城受到这次台风影响，那么 A 城遭受这次台风影响有多长时间？已知，如图，四边形 ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且A=90，求四边形 ABCD 的面积。如图，铁路上
20、A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DAABABEPF东北ABCDADE BC- 10 -于 A，CBAB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多少 km 处？.印度数学家什迦逻（1141 年-1225 年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题。如图，在ABC 中，AB=AC ，P 为 BC 上任意一点，请用学过的知识,说明：AB 2AP 2=PBPC。 AB P C
