1、周期现象、角的概念的推广【要点链接】1了解自然界中的周期现象；2角的概念推广后，任意角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、区间角及终边相同的角：(1)正角、负角和零角：它们是由于旋转方向不同而产生的角；(2)象限角和轴线角：它们是由于终边位置不同而产生的角；(3)终边相同的角：所有与角 终边相同的角 (连同角 在内) 构成集合.ZkS,360|【随堂练习】1 是第（ ）象限角045A一 B二 C三 D四2下列现象不具有周期性的是（ ）A地球绕着太阳转，地球到太阳的距离B弹簧做上下振动时，悬挂的质点到平衡位置的位移C钟表走动过程中，分针的末端到钟面上的某确定点的距离D人造地球卫星从发射到回收
2、过程中，卫星到地面的距离3将分针拨慢 5 分钟，则分针转过的度数是（ ）A B C D00603064下列命题中正确的是（ ）A第二象限角比第一象限角大 B第一象限角都是锐角C若 ，则 为第一、二象限角00318()kkkZD当始边重合时，角相等，则终边重合；终边重合时，角不一定相等5与 终边相同的角可表示为_4636若角 的终边和函数 的图像重合，则角 的集合为 |xy7若 是第四象限的角，则 是第_ _象限的角0188已知 019（1）把 表示成 的形式（ ， ） 36kkZ0036（2）求 ，使 与 的终边相同，且 729如图，圆上一点 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点AA每分钟转过
3、角（ ） ，经过 2 分钟后点 在第三0018象限，经过 16 分钟回到原来位置，求 的大小答案1C ，知它是第三象限角004572692D 人造地球卫星从地面到预定的轨道时，这个过程不是周期出现的3A 分针拨慢，是逆时针，则分针转过的度数是 034D 如果始边重合，那么角相等，一定可得终边重合；终边重合时，如果始边不重合，那么角不一定相等5 ，则 终边与 终边06257()kkZ004637250460257相同，则与 终边相同的角可表示为 3()kkZxyOA6 003645,3625,kkkZ或当终边在第四象限时，角 的集合为 ；03645,kZ当终边在第三象限时，角 的集合为 27三
4、知 ， ，009kk则 ，001836189k则 ，则 是第三象限的角3670188解：（1） 0425425（2）知 在 中的值有 3 个，显然一个为 ，07那么另两个分别为 ， 0100479解：由题意得 ， ，即 ， ，163kZkZ又 ，所以 ， 00806又因为 在第三象限，即 ，201827则 457解得 ， ，故 ，k5k所以 00.备选题1已知 是锐角，那么 是（ ）2A第一象限角 B第二象限角C小于 的正角 D第一或第二象限角081C 是锐角，则 可能是第一象限角，也可能是第二象限角，还可能终边在 轴y非负半轴2把下列各角写成 的形式，并指出它们所在的象限或终边位0036(3
5、6)k置（1） ； （2） ； （3） 051542解：（1） ，则它是第三象限角0（2） ，则它是第一象限角（3） ，终边在 轴非正半轴004()68x弧度制【要点链接】1弧度制的概念与有关概念一弧度角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作一弧度的角.正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0， ；2弧度制与角度制的互化我们用弧度制表示角时， “弧度”二字或“rad”通常略去不写，例如，角 3 就表示是 3rad 的角，但用角度制表示角时， “度”或“”不能省去而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少 的形式，如无特别要求，不必把 写成小数，如 45rad ，不必写成 45
6、0785 rad；43扇形的弧长公式与面积公式注意公式 中，左边是 的绝对值，不要误用为 lrlr【随堂练习】1下列与 终边相同的角为（ ）2A B C D037501507350142下列选项中，错误的是（ ）A “度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位B一度的角是周角的 ，一弧度的角是周角的362C根据弧度的定义， 一定等于 弧度018D不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关3下列转化结果错误的是（ ）A 化成弧度是 rad B 化成度是 度06731060C 化成弧度是 rad D 化成度是 15 度156724设扇形的半径长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角的弧度数是（
7、）8cm24cA B C D 85若 ，且与 角的终边相同，则 _636若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4 ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是_ _ccm7在 内，与角 的终边垂直的角为 )4,(678如图，已知扇形 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，AOB求该扇形的面积9自行车大链轮有 48 个齿，小链轮有 20 个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？答案1C ， 015200732152D 不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短无关3C 化成弧度是 rad064B 设扇形的圆心角为 ，则其面积 ，可得 ，21Slr2184则 1
8、85 在 内与 角的终边相同的角为 163(4,6)3416364 ，则 ，那么这个圆心角所夹的扇形的面积是 lR2 24SR7 ， 从图形可以看出在 内，与角 的终边垂直的角为 和 ，0(0,2)673那么在 内，与角 的终边垂直的角为 和 )4,2(673108解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，rl则有 216ll扇形的面积 Srcm9解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数与小转轮过的圈数之比为 2048，据此解得当大轮转 1 周时，小轮转 2. 4 周.故小轮转过的角度为 3602. 4=864，小轮转过的弧度为 86
9、4 弧度.80备选题1一条弧长等于半径的 ，这条弧所对的圆心角为（ ）21A 弧度 B 弧度 C 弧度 D以上都不对63211C 由 ，得 弧度lr2 弧度， 0367122 ， 弧度， 51036850071852同步测试题A 组一、选择题1把 化成 的形式是（ ）025(02,)kkZA B C D64764847842若 ，则角 的终边在（ ）3A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ， B ，0960375C ， D ，48020844角的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴，下列命题正确的是（ ）xA相等的角终边必相同 B终边相同的角一定
10、相等C第二象限角必是钝角 D不相等的角终边必不相同5设 角的终边上一点 的坐标是 ，则 等于（ ）P(sin,)36A B C D362(kZ2()6kZ6已知角 的终边在 轴的上方，那么 是( )2xA第一象限角 B第一、二象限角 C第一、三象限角 D第一、四象限角二、填空题7半径为 3cm，中心角为 的弧长为 .012cm8在 到 范围内，与角 的终边在同一条直线上的角为 03669与 终边相同的角是第_象限的角，其中最大负角是_4三、解答题10如果角 的终边经过点 M（1， ） ，试写出角 的集合 ，并求集合 中最大的3A负角和绝对值最小的角11若 是第一象限的角，求 所在的象限212如
11、图是一个水车的示意图，水车按匀角速度顺时针转动，从 点开始第一次转到 点时用时 5 分钟，已知水车的MA半径为 10 米，水车在水面上的高度为 15 米， 点关于A轴的对称点为 xB（1）求在转动一圈过程中，圆上的一定点在水面下的时间；（2）求终边为 的所有角的集合；O（3）求从 点开始第二次转到 点需要几分钟？AB 组一、选择题1设角 和 的终边关于 轴对称，则有（ ）yA B21(2)()kkZC D2若 为第二象限角，那么 和 都不是第（ ）象限角A一 B二 C三 D四3已知集合 ，则（ ）|,|,2442kkMxZNxZpp=+=+A B C DNMN=4一个半径为 R 的扇形，它的周
12、长为 4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A B21(2sinco1) 21sinco1RC D s二、填空题5若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么其圆心角的弧度数是 6终边在直线 yx 上的角的集合为 .三、解答题7设扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形圆心角的弧度数32cm12c8写出图阴影区域所表示的角的集合（包括边界） 同步测试题答案A 组1D ，则 002543615072842C ，则角 的终边在第三象限Oyx03Oyx0450313B ，则 与 终边相同00753603754A 是第二象限角，但不是钝角，则 A 错误； 与 的终边相同，2 039但它们不相等，知 B
13、错误、D 错误5D 知 ，则 的终边与 重合，则 1(,)POP2()6kZ6C 角 的终边在 轴的上方，则 ，x2,k那么 ，则 是第一、三象限角,kZ7 中心角为 ，为 ，则弧长为 2012332cm8 与 与角 的终边在同一条直线上的角可表示为 ，0136 036k或 ，则在 到 范围内为 与 008,kkZ06129三， ，它是第三象限的角又与 终边相同497249的角都可以表示为 ，32,Z则最大负角是 006110解：在 0到 360范围内，由几何方法可求得 =60， = | =60+k360，kZ，A其中最大的负角为300（当 k=1 时） ，绝对值最小的角为 60（当 k=0
14、时） 11解： 是第一象限的角，则 0036369,kZ则 018458,2kZ当 为偶数时，不妨设 ，kn则 ，知 在第四象限003636n2当 为奇数时，不妨设 ，k1,Z则 ，知 在第二象限001582n综上可知， 在第二象限或第四象限12解：设圆与水面的另一交点为 ， 的中点为 CAN（1）则可知 米，所以 ，5ON06O则 ， ，012A15M则在转动一圈过程中，圆上的一定点在水面下的时间为 分钟12054（2）由对称性知 ，0B则以 为终边的所有角的集合为 036,kkZ（3）转一圈（ ）所用的时间为 分钟，03636512注意是顺时针转动，则以 为始边转到第一次与 重合时转过的角
15、度是 ，OOA03用的时间是 10 分钟，则从 点开始第二次转到 点需要 22 分钟BB 组1D 可举例， ， ，它们的终边是关于 轴对称的，检验只有 D 成立23y2A 因为 为第二象限角，则 ，所以2()kkZ，知 是第三象限角2k，知 是第二、四象限角4k23B 分 、 ，则()knZ1()nZ|,42kNxZp=+，则 |,|,2xxnZpp=+MN4D 则扇形的弧长为 2R，则扇形的圆心角为 2 弧度，则弦长为 ，三角形sin1R的高为 ，则弓形的面积为 cos1R1icoR5 设圆的半径为 ，则圆的内接正三角形的边长为 ，3r 3r设圆弧的圆心角的弧度数是 ，则 ，则 r6 当在第
16、一象限时， ，,4kZ2,4kZ当在第三象限时， ，52,(1),4kZk则 2,(1),4 4kZkZ 7解：设扇形的半径为 ，弧长为 ，rl化简得 ，1,23lr230r解得 或,l,2.lr故扇形圆心角的弧度数为 或 148解：（1） 0036,369kk003621,3627kk， 188Z（2） ， 5,5备选题1已知 可以表示为 ，则 的值可以为（ ）2()kZA B C D24341B 可得 ，则 ，由选项知选 B2与 终边相同的最小正角是 .0152 与 终边相同的角是 （ ） ，当 时是满足3003615kkZ3要求的最小正角，此时角为 3写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界） （1） （2） 3解：（1）要注意，对于同一个 来说，写在左边的数要比右边的数小，k且这两数的差的绝对值小于 ，则036000215,kkZ（2）这四个阴影区域内角的集合分别为 ，004536,kZ，0000936, ，18236kk，0000715,Z合并即为 49024015y xO 045y O x
