1、1概率论复习题一、填充题： 1.设事件 与 互不相容， ，则 _0.5_。AB3.0)(,2.)(BPA)(BAP2. 设事件 A 与 B 相互独立， ，则 0.9 ，850.1 。 P(A) (1-0.8)(P.)(3设 ， ， ，则 0.7 。5.04.0)(P0|AB)(BAP4已知 ，则 _0.3； 0.6(1-0.3/0.6)3,6)(A)(_1_。|BP5. 从 1，2，3，4，5 中同时任取 3 个数，求其中至少含有 1 个偶数的概率为_9/10_。6设一射手进行 5 次独立射击，每次击中目标的概率 0.7,恰有 3 次命中的概率是 。235.07C7.一盒晶体管内有 6 个正品
2、，4 个次品，作不放回抽样，每次任取一个，取两次。则第二次才取到正品的概率 4/15 ，第二次取到的是正品的概率 3/5 。8. 设随机变量 服从二项分布 ，则 。X)2.0,1(b1XP9108.2.9设随机变量 服从（0，1）上的均匀分布，则 _1/2_。34210.设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且 ，则 =ln2，/0_1/2(1-ln2)_。1XP11、设随机变量 的分布函数为 ，则 的概率密度01)(5xexFX 。)(xf051xex， ，12 为连续随机变量，对任意实数 ， _1_。XCXP13设 ， ，则 _0_， 。)(E2)(XD)(E)(XED214设 和 是互相独
3、立的随机变量，且 服从 上的均匀分布， 服从参Y,0Y2数为 2 的指数分布，那么 1 。)(XYE15设 与 相互独立， ，又 ，则 EZ= 5 , XY)4,(,94NYXZ32DZ= 72 ， 。)(xf,2318-x2e）（16已知服从正态分布的随机变量 的概率密度函数为X)(,1)(12xexfx则 。9/23;432EX17若 。61)(_;12),cov(,4.0,6,5 YXDYXDYXY则18设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且 ，则2P=_2_， =_2_。EX19离散型随机变量 的概率分布为：XbaxPk4.0.31且 ，则 _0_， _0.4_。2)(E20如果随机变
4、量 的联合概率分布为),(YX1 2 3121/6 1/9 1/181/3 且 相互独立，则 =_2/9_， =_1/9_。,二、计算题：1已知有 10 件产品，其中有 4 件为不合格品，现从中任取二件，问：（1）所取二件至少有一件为不合格品的概率；（2）若已知取出二件产品中有一件为不合格品，则另一件也是不合格品的概率。解： （ 1） 1- =2/3;(2) 设 A=“取出二件产品中有一件为不合格品 ”， B=“取26210出的二件产品都为不合格品 ”，则 P(B|A)=P(AB)/P(A)= P(B)/P(A)3= / =1/42421016142102三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球
5、1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3个白球，第三个箱子中有 3 个黑球 5 个白球.现随机地取一个箱子，再从这箱子中取出 1 个球，问（1）这个球是白球的概率；（2）已知取出的球为白球，此球属于第二个箱子的概率。解： （ 1）设 A=“取出的球为白球 ”， Bi=“从第 i 个箱子中取球 ”， i=1,2,3.则 P（ A） = = （ + + ;3=0()(|)13111513161518） =53/120(2) 20/53.(|2)=(2)(2)() =3设工厂甲和工厂乙的产品的次品率分别是 1%和 2%。现从由甲和乙的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机地抽取一件，求取得的
6、产品是次品的概率是多少？又问：如发现取得的产品是次品，则该产品是工厂甲生产的概率是多少？解： （ 1）设 A=“取出的产品为次品 ”， B1=“产品由甲厂生产 ”， B2=“产品由乙厂生产 ”，则 P（ A） = =0.60.01+0.40.02=0.014;2=0()(|)(2) 3/7.(|1)=(1)(1)() =4有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2，0.1和 0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为 ，而乘12,34飞机则不会迟到。（1） 求他迟到的概率；（2） 如果他迟到，求他是乘火车来的概率。解： （ 1）设 A=“某人迟到 ”，
7、 B1=“乘火车到达 ”， B2=“乘轮船到达 ”， B3=“乘汽车到达 ”， B4=“乘飞机到达 ”，则 P（ A） = =0.3 +0.2 +0.1 +0.40=3/20;4=0()(|) 4312(2) 1/2.(|1)=(1)(1)() =5某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的” 、 “一般的”和“冒失的” 。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次 为 0.05，0.15 和0.30；如果“谨慎的”被保险人占 20%， “一般的”占 50%， “冒失的”占 30%。4现知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”客户的概率是多少？解： （ 1）设 A=“某人一年内发生交通
8、事故 ”， B1=“某人为 谨慎的 ”， B2=“某人为一般 的 ”， B3=“某人为冒失 的 ”，则 P（ A） = =0.20.05+0.50.15+0.30.3=0.175;3=0()(|)(2) 2/35.(|1)=(1)(1)() =6连续型随机变量 的概率密度函数为X求（1）常数 ； （2） 的分布函数； （3） ；k 231XP（4） 随机变量 的概率密度函数2Y)(yfY解：（ 1） =2； （ 2） ； （ 3） =F(2)-F(k1.x,0,)(F2， ，xX 21XP)=8/9；3(4)因为 ，)()()y( X2Y yFyXyPXyPF 所以 =00),()(21)(，
9、 fff els.1,， ，7设连续型随机变量 的概率分布密度为X，其 它01|)1()2xkxf求（1）常数 ； （2） ； （3） ； DE, )21(XP（4）X 的分布函数。解：（1）2 =3/8； 10(2+1)=1,k（2） ； ;20/3415/2)(,2dx(8321-2 EXDXEX）5（3） = )21(XP;321dx(832/1/-）（4） 1.x,370)(F23， ，xX8设随机变量 的分布列为：kx-1 1 2pabc并且已知， . 求31)(2XE（1）常数 ， ， ； （2） 的分布律。abc)cos(XY解：（1）可得方程组 ，解之得 a=0.3,b=0.6
10、,c=0.1;3.1)1(5022cba（2） Y=1，对应概率为 0.1，此时 X=2；Y=-1，对应概率为 0.9，此时 X=-1,1.9设离散型随机变量 的联合分布律为),(YX12.054.09.3128.26.43YX求（1）关于 的边缘分布律；（2）判别 的独立性；（3） .YX, YX, XY解：（1）边缘分布律；X:0.3,0.1,0.2,0.4;Y:0.2,0.5,0.3（2）不独立 0.060.30.3 或 0.050.20.3 （3） =XY, (,)=() =5.662.72.11.610.49=0.010.888= -0.011=8.9, =4.9.)(2E)(210
11、已知随机变量 的联合分布为,YX8/18/100/11XY求（1） ；（2） ；（3） ；)(,),(,YDEXXY)(YXD6（4） X 与 Y 是否相互独立？（请说明理由）解：（1） ；;43812083)1(Y)();0)(;82031)( 222 EDXYE（2） ;0)(,0( XYECovXYE （3） =D(X)+D(Y)+2Cov（X，Y）=3/2；)（4） X 与 Y 不 相互独立，因为 18 38 3811设随机变量 的联合概率分布律为),(XY0 101a 0.30.2 b（1）求 a , b 使 2 PY = 0= 3 PX = 0； 2（a+0.3）=3(a+0.2)
12、,a=0,b=0.5（2）求关于 的边缘分布律；X:0.2,0.8;Y:0.3,0.7;X,（3）Cov( X,Y)， 。Y, ；06.7.18.05.1)( ECov .324./)06.(/),( ;973) ;1.48(;7.0;8. 222 22DYXvEDXXY12设随机变量 的概率密度为其 它02,131),(2 yxyxyf求（1） （2）判别 X 与 Y 是否相互独立（需说明理由） 。;)(,fxfYX（3） 1P解：（1） ;20,31)3)(2102 ydxyyf xxYX（2）判别 X 与 Y 是否相互独立（需说明理由） 。7 , (12,12)=13 56 512 12
13、/5)(,6/)21(YXff（3） 102 .36/1/5)31 xdxyYPYXP（13设 的联合概率密度为),(，其 它0,)32(yxAeyxfyx试求（1）常数 A； （2） 的边缘概率密度 ；X)(xfX（3） ；)(YXP（4）判别 X 与 Y 是否相互独立（需说明理由） 。解：（1） A=6； （2） ；edyexf xxX0,26)(032（3） ；20 64;16y（4）判别 X 与 Y 是否相互独立（需说明理由） 。独立14设随机变量 X 的概率密度为 ，且 ，其 它0)(xbaxf 31)(XE（1）求常数 ；（2）求 。ba,D解：（1） ，解方程组得 a=-2,b=
14、2; 10 3/12/3/1)(badx（(2) ;86/)()()(222 XEXDxE15设随机变量 的联合概率密度函数为,Y其 它 50,0)2(1),( yxyxyxf求（1）边缘概率密度函数 ，并判断 与 是否独立；)(,fYXXY（2） ；（3）2,43YP3P解：（1） ，50,1652)210)( 8465 yydxyf xxYX（8 , ；(3,3)=3701784 22105 105/2)3(,84/17)3(YXff（2） 5204 ；（ dxyYP（3） ./)81(36dxX16设随机变量 ，计算,02N（1） ； （2） ； （3） 。P12XP2|10|XP解：（
15、1） ;4.0584.0)(1)()(X（2） ；1587.03.1)(122 PP（3） .680)(1() )2(|0| XX17有两个小组进行初赛，甲组得分 ，乙组得分 。)5,(N)16,70(NY若得分超过 80 分可以参加决赛，问（1）哪一组出线的可能性大？（2）这两个组的总分服从什么分布？解：（1）甲组： ),3(1)5680(1180 XPXP乙组： ,.2)47(YY因为 所以乙组出线的可能性大。),5.2()3（2） 41NX18设连续型随机变量 )2,3(X（1） 求 ；P（2） 求常数 C 的值，使 ；CXP（3） 令 ，求 Y 的概率密度函数 。12XY)(yfY解：（1） =P9.3026915.38.0)5().2( )5.2().0()3()(21|1 XPXP（2） 由 得 ，则C )2()5CPC=3;(3)因为 ，则 ，则)2,3(NX)16,7(NXY.,32exp41yyyf
