1、FpgFpg概率论感觉测试（答案）1. 假设考试周为 1 个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有 3 门考试，则最后一门考试大约在A. 周五B. 周六C. 周日Answer: B. 一般讲在0,1之间 n 个均匀分布随机变量最大值期望为 n/(n+1)， 也就是可以认为这 n 个随机变量分别大约在 1/(n+1)， 2/(n+1)，.， n(n+1)。这道题那么算一下大概就是在周六上午。2. 如果你去参与一项赌博，每次回报为正态分布，假设你赌了100 把发现赢了 10000 块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为A. 有一把赢了很多B. 一直在慢慢
2、赢C. 两种情况都有可能Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能FpgFpg一般觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大更难。这个问题是随机变量长尾还是短尾问题。长尾意思就是取离均值很远概率不是很小，而短尾正好相反。题目中正态分布属于短尾，因为密度函数是按照平方指数下降，如果稍微改一下题目中分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢。另外说一句，有一本书叫长尾理论，里面说明了现在经济中有很多东西是长尾，比如说一年销量排在 100000 名之后歌曲仍然能占据市场一部分。这是电子商务流行很重要原因，因为不必支付储存这个长尾 cost。3. 有一根密度不均匀绳子，你想
3、通过测量多点密度来估计他重量（你知道截面积）。则如果给你 n 次测量密度机会话，如果 n 很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积）A. 按规律等间隔选取测量点会测得准些B. 随机选取测量点会测得准些C. 两种方法差不多Answer: A. 也许这个也略有些意外。对于一维情况，方法 A 略好于方法 B。但是在高维情况下方法 A 就一般情况下不如方法 B 了，原因是要想获得相同效果，这个“有规律点 ”需要选取太多。这是所谓 Quasi-Monte Carlo Sampling 和 Monte Carlo Sampling 之FpgFpg间关系。4. 台湾大选，假定马英九最终得到 6000
4、00 票，谢长廷得到 400000票，如果一张一张唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷概率为A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4Answer: B. 直觉上讲这个概率并不会太大，而且尤其是在前面几张时候多少会出现一些反复。实际上这个结果跟一共多少人投票没什么关系，如果得票比例为 a:b (ab)，则这个概率为 (a-b)/(a+b)。5. 你拿 10 块钱去赌场赌大小，你有两种玩法，一种是每次赌 10块，一种每次赌 1 块，赢了翻倍，输了就没有了。你决定全部输光或者赢到 100 块就走，则A. 两种方法输光概率一样B. 第一种输光概率较大FpgFpgC. 第二种输光概率较大Answe
5、r: A. 不管什么赌法都不会改变这个概率（如果每一次期望都是 0， 且最终不能超过 100）。这是随机过程中一个比较简单但是很有意义结论，意思就是说 you cant beat the system。因此对于像股市，赌博这种系统，如果你假设了随机性（期望为 0），则其实怎么操作结果都是一样，重要在于发掘其中非随机性。另外，到 100 概率很容易计算，因为初始值是 10，假设到 100 概率为 p，则有 100p+0(1-p)=10，也即 p=0.16. 100 个球随机放在 100 个箱子里，最后空箱子数量大约是A. 0-10B. 10-20C. 20-30D. 30-40Answer: D
6、. 这个题可以用简单概率论计算。结论是不管多少个球，c*n 个球放到 n 个箱子里，最后空箱子个数约为 ne-c，现在情况是箱子数和球数一样多，那么就约为 100*e-1.FpgFpg7、打 10000 副拱猪，总共持有 9500-10500 个 A 概率大约在 A. 80%-90% B. 90%-95%C. 95%-99% D. 99%以上Answer: D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家一个感觉，实际上这个概率大于 0.99.9，可以有 9 个 9，尽管有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。只是我们不注意我们抓好牌时候罢了。8. 有以下几个国家，每个国家
7、有自己习俗。问哪个国家长期以后男人比例最大 A. 每个家庭不断生孩子直到得到第一个男孩为止B. 每个家庭不断生孩子直到得到第一个女孩为止C. 每个家庭不断生孩子直到得到一男一女为止D. 以上几个国家最后男女比例基本一样Answer: D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率方法可以得到不管哪个方法都是 1:1。事实上，我们只是把FpgFpg一个很长男女序列按照不同方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你实力是恒定，你永远都是你本来应
8、有胜率。9. 实验室测试灯泡寿命。在灯泡坏时候立刻换新灯泡。灯泡寿命约为 1 小时。考察 10000 小时时亮着那个灯泡 A. 那个灯泡寿命期望也约为 1 小时B. 那个灯泡寿命期望约为 2 个小时C. 那个灯泡期望寿命约为 0.5 个小时D. 以上说法都不对Answer: B. 这个题可能稍难。如果具体算需要一点本科高年级知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是我们观测事物生命（Life time） 是随机时候。在时间足够久以后一点，那个事物寿命要长于这个事物本身平均寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单说，如果灯泡有两种，一种只能坚持 1 小时，一种能坚持
9、100 小时，那我们观测到 99%都可能是 100 小时那个。所以观测到平均寿命较长。通常我们认为灯泡寿命是指数分布，在这个情况下，答案是 2 倍。FpgFpg对于一般分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测那个寿命期望是无限。这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查囚犯平均被判刑年数要远大于全美平均判刑年数。10. 如果一个群体里，每个个体以 0.2 概率没有后代， 0.6 概率有 1 个后代，0.2 概率有两个后代，则 A. 这个群体最后会灭绝B. 这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡C. 这个群体最后将爆炸，人口将到无穷D. 不一定会发生什么Answer: A. 这是
10、个简单人口模型。这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和后面一道题道理是一样。注意到每一代期望总是 1。因此根据上次答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当每一代期望小于等于 1 时，最后结果都是会灭绝。对于期望大于 1 情况，我们也可以很简单通过解方程得到灭绝概率。11. 给一个 1-n 排列，与原来位置相同数字个数期望大约是 （如 n=5 则 51324 与原来位置只有 3 是相同） FpgFpgA. 1B. log nC. ln nAnswer: A. 这个题要去算有几个相同概率是比较难，不过实际上有一个很简单方法。在第 1 个位置，这个排列第 1 个数字为1 概率为 1/n，而期望是可
11、加，所以总共与原来位置相同数字个数期望应该是 1。也就是说不管是多少数字，平均总是有一个数与顺序是相同。这个题会非常经常出现在考试和习题中。12. 如果有 3 个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中某个没奖。现在你有一次换得机会，你应该A. 换B. 不换C. 换不换都一样Answer: A. 这个是网上非常经典一个问题了。不换正确概率是1/3，换正确得概率是 2/3。我比较喜欢这样去想，试想一下如果有100 个门，你先选定 1 个，然后主持人打开 98 个空，然后给你机会换不换。我想如果这样，你不难做出正确选择。FpgFpg13. 以下那件事情发生
12、期望时间最短 A. 在第 0 秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率 1/2 向左走，1/2 向右走，第一次回到原点时间B. 一只猴子，每秒种随便按键盘上一个键，第一次打出“Beijing Welcomes You“时间C. 在第 0 秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率 1/2 向左走，1/2 向右走，第一次到达 1 时间Answer: B. A 和 C 两个事件发生时间期望都是+inf. 只有 B 是有限。A 和 C 说明了等概率赌博不可能赢钱（如果 C 是有限则参加赌大小游戏总能赢钱了）。而 B 说明是另外一条概率上定理，“What always stands a reasonable c
13、hance of happening will almost surely happen, sooner rather than later“，也就是说从任何时刻开始，总有一个固定概率发生事情（比如一个猴子打出 beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/2620 左右），不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。14, 美国 25 分硬币共有 50 种，上面有 50 个州图案，如果我们每次得到硬币是随机，则大约收集多少可以收集全 FpgFpgA. 200B. 300C. 400D. 500Answer: A. 这是所谓收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐 n 种硬币，需要大约 nlogn 个。大约思路是收集第k 个时候需要大约 n/(n-k)次。平时我们收集一些食品里卡片，也都遵循这个规律，不过多数时候每种卡片数量都是很不同。还记得小时候可乐里收集到苹果加蜡烛可以得到到头等奖，不过最后也没收集到任何一个苹果。15. 假设有 1000 次 100m 短跑大赛，每次比赛冠军成绩都在9.7-10 之间均匀分布，问期望有多少次比赛比赛能够破纪录 A. 7B. 10C. 15D. 32Answer: A. 这是所谓破纪录问题。假设均匀分布,则最后 n 次比赛
