1、概率论与数理统计 B二填空题（每小题 3 分，共 15 分）1设 A、 B 是相互独立的随机事件， P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则 = .()A2设随机变量 ，则 n=_.(,) 3,)1.2npED3随机变量 的期望为 ，标准差为 ，则 =_.5(2()E4甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是 0.7 和 0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_.5设连续型随机变量 的概率分布密度为 ， a 为常数，则 P( 0)=_.2()fx三(本题 10 分)将 4 个球随机地放在 5 个盒子里，求下列事件的概率(1) 4 个
2、球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有 2 个球.四(本题 10 分) 设随机变量 的分布密度为 , 03()1xAfx当 当 或(1) 求常数 A; (2) 求 P( 1)； (3) 求 的数学期望.五(本题 10 分) 设二维随机变量( , )的联合分布是 1 =2 4 5 0 0.05 0.12 0.15 0.07 1 0.03 0.10 0.08 0.11 2 0.07 0.01 0.11 0.10(1) 与 是否相互独立? (2) 求 的分布及 ；()E六(本题 10 分)有 10 盒种子，其中 1 盒发芽率为 90，其他 9 盒为 20.随机选取其中 1 盒，从中取出1 粒种子
3、，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的 1 盒的概率是多少？七(本题 12 分) 某射手参加一种游戏，他有 4 次机会射击一个目标.每射击一次须付费 10 元. 若他射中目标，则得奖金 100 元，且游戏停止. 若 4 次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款 100 元. 若他每次击中目标的概率为 0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八(本题 12 分)某工厂生产的零件废品率为 5，某人要采购一批零件，他希望以 95的概率保证其中有 2000 个合格品.问他至少应购买多少零件？(注： , )1280.9(1.60.9九(本题 6 分)设事件 A、 B、 C 相互独立，试
4、证明 与 C 相互独立 .AB某班有 50 名学生，其中 17 岁 5 人，18 岁 15 人，19 岁 22 人，20 岁 8 人，则该班学生年龄的样本均值为_.十测量某冶炼炉内的温度，重复测量 5 次，数据如下（单位：）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度 .估计 ，求总体温度真值 的 0.95 的置信区间. (注：2(,)N10, )(1.96)0.75(1.60.95答案 一1 （D） 、2.（D） 、3.（A） 、4.（C） 、5.（C）二10.85、2. n=5、3. =29、4. 0.94、5. 3/42()E三把 4 个球随机放入 5 个盒子中
5、共有 54=625 种等可能结果-3 分（1）A=4 个球全在一个盒子里共有 5 种等可能结果,故P(A)=5/625=1/125-5 分(2) 5 个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有种方法-7 分302415C4 个球中取 2 个放在一个盒子里，其他 2 个各放在一个盒子里有 12 种方法因此，B=恰有一个盒子有 2 个球共有 43=360 种等可能结果.故-10 分1576)(BP四解：（1） -3 分 30 4ln1,lAdxxf（2） -6 分102ln)(AP（3）3 300()()l(1)1xExfdAx-10 分1ln4l五解：（1） 的边缘分布为-2 分29.03.9.
6、0 的边缘分布为-4 分8.4.15.5 因 ,故 与 不相互独立-5 分)1(0),0( PP（2） 的分布列为0 1 2 4 5 8 10P 0.39 0.03 0.17 0.09 0.11 0.11 0.10因此， 16.30.1.08.5 09.739)( E-10 分另解：若 与 相互独立,则应有P(0,1)P(0)P(1); P(0,2)P(0)P(2);P(1,1)P(1)P(1); P(1,2)P(1)P(2);因此， )1(0)2,1(0),1(0PPP但 ，故 与 不相互独立。10.23.5六解：由全概率公式及 Bayes 公式P(该种子能发芽)0.10.9+0.90.20
7、.27-5 分P(该种子来自发芽率高的一盒)(0.10.9)/0.271/3-10 分七令 Ak=在第 k 次射击时击中目标，A 0=4 次都未击中目标。于是 P(A1)=0.3; P(A2)=0.70.3=0.21; P(A3)=0.720.3=0.147P(A4)= 0.730.3=0.1029; P(A0)=0.74=0.2401-6 分在这 5 种情行下，他的收益 分别为 90 元，80 元，70 元，60 元，140 元。-8 分因此， 65.2)140(2.0 60129.704.893.) E-12 分八解：设他至少应购买 n 个零件，则 n2000，设该批零件中合格零件数 服从
8、二项分布 B(n,p), p=0.95. 因 n 很大，故 B(n,p)近似与 N(np,npq) -4 分由条件有-8 分20(20)1().95pPnq因 ，故 ，解得 n=2123,(.65).91.6p即至少要购买 2123 个零件. -12 分九 证：因 A、B、C 相互独立，故 P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(AB)=P(A)P(B), P(ABC)=P(A) P(B)P(C).-2 分()()()()()PPACBPAC-4 分()()()(AB故 与 C 相互独立. -6 分 一、填空题（每小题 4 分，共 40 分）1、 设 与 为互不相容
9、的两个事件， ，则 0 。AB0)B(P)|(A2、 事件 与 相互独立， 则 0.5 。,7.)(,4.)(A)(BP3、 设离散型随机变量 的分布函数为X01x)(xFa322bx且 ，则 。21)(XPa61b,654、 某人投篮命中率为 ，直到投中为止，所用投球数为 4 的概率为_ _。54 62545、 设随机变量 与 相互独立， 服从“0-1 ”分布， ； 服从 的泊松分XYX.0pY布 ，则)2( ._24.)(_,4.2)( DE6、 已知 则,31,9)(D,16)( XY.36)(7、 设总体 服从正态分布 从总体中抽取样本 则统计X),0(2N ,4321X量 服从_ _
10、分布。24231,F8、 设总体 服从正态分布 其中 为未知参数，从总体 中抽取容量X),1(NX为 16 的样本，样本均值 则总体均值 的 的置信区间为,5X%95_（4.51，5.49）_。 （ ）6.97.0u9、 在假设检验中，显著性水平 是用来控制犯第一类错误的概率，第一类错误是指_原假设为真却拒绝原假设_。10、 若 ，且 与 相互独立，则 服从),(),(221NYXXYYXZ_ _分布。221N二、计算题（每小题 10 分，共 60 分）1、 (10 分) 已知 8 只晶体管中有 2 只次品，从其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样。求下列事件的概率：（1）一只是正品，一只是次
11、品；（2）第二次才取得次品；（3）第二次取出的是次品。解： （1）一只是正品一只是次品的概率为： 73C2816（2）第二次才取得次品的概率为： 4。（3）令 表示“第一次取出的是正品” ， 表示“第一次取出的是次1A2A品”表示“第二次取出的是次品”B第二次取出的是次品的概率为：418276)A(P|B()PA|()P21 2、 （10 分）设随机变量 的概率密度X)(xf1A20x0 其它求：（1） 的值；（2） 的分布函数 ；（3）X)(xF.5.1P解：（1）由 可得， 1dx)(f20 2A1d(所以，)(fx20x0 其它（2） ， )x(F00x， .41221 （3） .25.
12、116dx)(.x5.P3、 （10 分）甲、乙两人独立地进行两次射击，假设甲的命中率为 0.2，乙的命中率为0.5，以 和 分别表示甲和乙的命中次数，试求：（1） 和 的联合分布律；XY XY（2） 和 的边缘分布律。解：（1） 和 的联合分布律为： 。2,10n,m 4C251).0(5C)8.0()(P )m1(n2nn2mm （2） 和 的边缘分布律。XY由于 与 相互独立，所以 和 的边缘分布律分别为：XY。2,10m)8.0(2C)(P2m。,n5.(0)nn24、 （10 分）二维随机变量（ ， ）的概率密度为XY),yx(8120,20yx0， 其它),(yxf求：（1） （2
13、） （3） （4）)XE(D)(XYE),(YXCOV解：（1） 20 67dxy)(81x)(（2） 361)7(5)X(E()xD,2220 （3） 0 4dxy81yY（4） 2 67)()(361734)Y(EX)()Y,X(COV.5、 （10 分）设总体 的概率密度为 ,1x10x0， 其它 )(f（1） 求 的最大似然估计量；（2）求 的矩估计量。解：（1）似然函数为： 10,)();,.( 1121 iinini xxxL取对数为： .n1iil)(lnl由 得，0dLln1ii1ii xl0xl则 的最大似然估计量为： 。n1iiXl（2） 10dxEX由 得， 的矩估计量为： 16、 （10 分）某炼铁厂的铁水含碳量服从正态分布 ，现测得 9 炉铁水)08.,54(N2的平均含碳量为 4.484，若已知方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55（ ）？（注： 05.,6.195.0u,6.1975.0u）,362)8(t975.0 8)(t.解： ,5.4:H05.4:H1在原假设成立的条件下， ),0(Nn/8.0X已知 则 ，由 得拒绝域为：,05.96.1u2n.|3/8.4X|当 时， .496.183.6|/10.5| 所以拒绝原假设，即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55。
