1、概率论与数理统计试题20162017 第一学期（期末）试题解答1、 完成下列各题（每小题 4 分，共 24 分）1. 设随机事件 A，B，C 相互独立， , ,分别求出21)(BPA4)(C及 的值。)(P)(P解： )(1)(11， 相互独立CBA,所以 也相互独立 )()(,)(),()( CPBCPAP )(BAABCBA 165 )()()()()( CBPCAPP 167)()()()(B相关知识： （书 P11）_)()()()( ABPBAPAP，事件的相互独立性： , 相 互 独 立四对事件 中有一对是相互独立的，则另外三对也相,互 独立，此结论可推广至 n 个事件的情形。（书
2、 P20）事件的差： BADe Morgan 律： 2. 房间内有 5 个人，每个人在一年中（按 12 个月计算）每个月出生的概率相等，求 5 个人中至少有两个人生于同一个月的概率。解：设 人 中 至 少 两 人 生 于 同 月事 件 A则 人 中 无 人 同 月 出 生5则 1489)()(1521APAPC5 人中至少两人生于同月概率 1489)(相关知识：正难则反：发现某件事情的概率很难求时，可以考虑其对立事件的概率，再应用 来求解。)(1)(AP乘法原理：做一件事需经过 个不同的步骤，而第 步有 种方法，则完成它niim有 种不同的方法。niim13. 设随机变量 ，且)(PX 的 值
3、 。， 求 )3()2(4)1( XPX解： !0)1( ee两边同除 ，得e2解得 或 （舍去）1-因此 ！， k)()1eXP)2()1()0(313( XP25e综上 125)(eXP相关知识：泊松分布：P37设随机变量 有 ，则称 服从参数为 的泊松分布，记为X!)(kePX。其中 。)(且 为 常 数； 02,10k4. 将一颗均匀骰子独立上抛两次，观察出现点数。若两次出现点数和为 8 或 10 即可获奖。求获奖概率。解：设第一次上抛出现点数为 ,第二次上抛出现点数为 。XYXY1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5
4、 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12由上表可见， 2368)10()( YXP则获奖概率 925. 设随机变量 与 相互独立且同分布， 的概率密度为 ，XY )(0)(其 他xexf，若 ，求 的值。03)1(eP)2,(minYXP解： ，则 。311 edxfXx )2(1)2,(in)2,(min YPYY因为 , 同分布所以 62)()()( edxfPX所以 12),(mineYXP相关知识：二维随机变量函数的概率分布（书本 P62P67） dyzfdxzfzfZ ),(),()( yffYXz ),(|)( ,min,axYXM )(
5、1)(1)()( zFzFzFYXYX 6. 设总体 服从二项分布 是来自 的简单随机样本。nxpb,2试求参数 的矩估计量 的无偏估计量。p2解： niiXAmXE11)(由矩估计法可得， )(21 nxxp所以有 )(2nxnp )2XDm的无偏估计量是2 )(12niinXS21222pii承上题， 的无偏估计量是mX所以 2122nnpXii)(11222iiXm相关知识：若 ，则 。),(pmBX)1()(;)(pmXDpE求 : 2E )(222 XEED无偏估计量的定义：若 ，则称 是 的一个无偏估计量。（书本)(P153）矩估计法：（书本 P145）2、 已知某批产品中 90%
6、是合格品，检查时，一个合格品被误认为次品的概率是 0.05，次品误认为是合格品的概率是 0.02，试求：一个产品经检查后被认为是合格品的概率。一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率。解：设 。某 产 品 被 认 为 是 合 格 品某 产 品 是 次 品 ；某 产 品 是 合 格 品 ； ABB21则 构成一个互斥完备事件组。2，则 1.0)(9.0)(21P2.|5| BABA%7.8)|()|()(11P所以某产品被认为是合格品的概率 。%7.85)(A承上题，即求 )|(1BP则 %8.957)|()|()|)()|( 221111 BPBA所以经检查后认为是合格品的确实是合格品
7、的概率为 .|1A相关知识：全概率公式与贝叶斯公式（书本 P17）全概率公式：若事件 构成互斥完备事件组，则nB,21。j jjAPBAP)|()(用法：可以将复杂事件概率分解为若干互斥的简单事件的分概率。贝叶斯公式： 。j jjiii BAPAP)|()()|(用法：可以由事情的结果去推测原因。3、 随机变量 的概率密度 ，令 ，试求X其 他0)2(1)(xxf 1XY 的分布函数 的概率密度 )(FY)3(P解： )2(104)()( xxdxf所以 )2(104)()(2xxF )5(11690)()2()1()() 2yyyFyXPyYXY所以 )5(018)()( yyFfY 43)
8、3(1( XxP所以 41相关知识：连续型随机变量及其性质。（书本 P37）4、 设随机变量 相互独立，都服从参数为 的（0,1）分布，若 ，且令21,YP21P， 。kXk21,求二维随机变量 的联合分布律。分别求出 关于 的边缘),(21X),(21X21，分布律。 是否相互独立？证明你的结论。21，解：由题意得， ； 。PY1021， 21则容易得到 41)21()1,(, 1)()1,( 0)2221 2121 YYPXPYYPXP且 且且2Xij11 -11 0 1/4-1 1/2 1/4由上题，容易求到1X1 -1P1/2 1/2 不相互独立：21，证明： )1()()1,( 41
9、,2,0121 2XPXP因此，由事件独立性定义， 不相互独立。2，相关知识：二项分布。（书本 P34）事件独立性定义。（书本 P20）5、 二维随机变量 概率密度为 。),(YX其 他0),(yxeyxfy求边缘密度函数 。求条件概率密度 。ffY及 )|(|fYX令 ，求 的概率密度函数。ZZ解： )0(),()(xedyxffX2X1 -1P1/4 3/4)0(),()( yedxyffY条件概率密度 )(,)| fxfYYX)0(1)|(| xyyxfYX dzfzfZ,)(当 时，显然有00)(fZ当 时，z zzxzyZ edef 22020所以 )()(2zefzZ相关知识：二维
10、随机变量函数的概率分布。（书本 P62）边缘概率密度。（书本 P49） dxyffdyxffYX ),()(;),()(条件概率密度。（书本 P53） )(,)|(| ffYY6、 设总体 的概率密度函数 ，其中 为未知参数，X)0(2),(2xexfx为总体 的简单样本。n,21求 的最大似然估计量 是否为 的相合（一致）估计量？证明你的结论。2解：似然函数 )0()(121iXniieLni对数似然函数 niinii X121ll2l)(l当 时， ，0)(lnL021niiXniiX122所以极大似然估计量： nii12 是 的相合（一致）估计量。2证明：有 00222 2),()()(
11、1)( dxexfXEnE因此 )(1)()(;)( 21222 iniiDD由 Chebyshev 不等式（书本 P105）知，对 ，有02222 )(1)()|(|)|(| nXEPP 所以 1)(1)|(|1| 222limli nDXnn由夹逼准则知，对 ，0|P故 是 的相合（一致）估计量。2相关知识：极大似然估计法（书 P147）：似然函数 ，固定niixfL1);()(，当 取最大值时，对应 成为极大似然估计量。),21(nix)(L,2n（ ）0L为了计算简便，通常改求对数似然函数 的极值点。（ ）)(lnL0)(lL和 通常有相同的极值点)()(ln对 ，如果有 ，则称 是
12、的相合（一致）估计量。01)|(|limPn 切比雪夫不等式： 。2)(| XDXE7、 设总体 相互独立， ， 均未知，YX， ),(),(221NYX221，今分别从两总体中抽取样本，得到观测值如下：24.3 20.8 23.7 21.3 17.4:18.2 16.9 20.2 16.7利用总体 的样本观测值，求 的置信度为 的置信区间。195.0检验假设： )(:0221H（已知上侧分位数点： ）76.2)4(,8.4,3,0.5)3,4( 05.25.025. tFF解：由题意得，有 )1(1ntSXnT在本题中， 5.2);4(5511iiXt0.7)(4125XSii 95.4()025.025.tTtP解得 19181所以求 的置信度为 的置信区间为 。.)901.24,.8(由题意得 )1,(21212nFSn在本题中， )3,4(21Sn假设 为真，则 ，0H21),(21F拒绝域为 3,4)3,4(221F或
