1、 全等的相关模型总结1、角平分线模型应用1.角平分性质模型： 辅助线：过点 G 作 GE射线 AC（1）.例题应用：如图 1，在 中ABC， ,cm4,6,90BDCAD平 分， 那么点 D 到直线 AB的距离是 cm.如图 2，已知， 2， 43. P平 分求 证 ： .图 1 图 22 （提示：作 DEAB 交 AB 于点 E） 2， PNM， 43， PQN， BACPM平 分,.(2).模型巩固 ：练习一：如图 3，在四边形 ABCD 中，BCAB，AD=CD，BD 平分 .求证： 180CA图 3练习二：已知如图 4，四边形 ABCD 中， .,180BADCDB平 分求 证 ：图
2、4练习三：如图 5， ,90CABFDABCABCRt 平 分，垂 足 为，中 ， 交 CD 于点E，交 CB 于点 F.(1)求证：CE=CF.(2)将图 5 中的ADE 沿 AB 向右平移到 ED的位置，使点 落在 BC 边上，其他条件不变，如图 6 所示，是猜想： BE于 CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 5 图 6练习四：如图 7， ，P 是 AB 的中点，PD 平分ADC90ADBC， 求证：CP 平分DCBA DECBP2 143图 7练习五：如图 8，ABAC，A 的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作 DEAB，DFAC，垂足分别为 E，F求证：BE=C
3、F图 8练习六：如图 9 所示，在ABC 中，BC 边的垂直平分线 DF 交BAC 的外角平分线 AD 于点 D，F为垂足，DEAB 于 E，并且 ABAC。求证：BEAC=AE。FEDCBA图 9练习七： 如图 10，D、E、F 分别是ABC 的三边上的点，CE=BF，且DCE 的面积与DBF 的面积相等，求证：AD 平分BAC。B CADEF2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现辅助线：延长 ED 交射线 OB 于 F 辅助线：过点 E 作 EF射线 OB（1）.例题应用：如图 1 所示，在ABC 中，ABC=3 C ，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于 F。求证： ()2BEAC证明：
4、延长 BE 交 AC 于点 F。 已知：如图 2，在 中ABC， ,ADBCAD且于交的 角 平 分 线 )(21.BMDCM求 证 ：的 延 长 线 于交作分析：此题很多同学可能想到延长线段 CM，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于 AB=AD，由此我们可以猜想过 C 点作平行线来构造等腰三角形.证明：过点 C 作 CEAB 交 AM 的延长线于点 E.例题变形:如图， 21， 的 中 点为 AB， .,NFBAM于于 求证： ;2BMEF ).(FN(3).模型巩固 ：练习一、 如图 3，ABC 是等腰直角三角形，BAC=90，BD 平分ABC 交 AC 于点D，CE 垂
5、直于 BD，交 BD 的延长线于点 E。求证：BD=2CE。图 3练习一变形：如图 4，在ODC 中， ，09DCEOCOE的 角 平 分 线 ， 且是 ，过点 E 作 . 之 间 的 关 系 ， 并 证 明与猜 想 ： 线 段于 点交 FOCF图 4练习二、如图 5，已知ABC 中，CE 平分ACB，且 AECE，AEDCAE180 度，求证：DEBC图 5 练习三、如图 6，ADDC，BCDC，E 是 DC 上一点，AE 平分DAB ，BE 平分ABC，求证：点 E 是 DC 中点。图 6ACD EBAB CDE练习四、如图 7（a） ， AABCEBD的 外 角 平 分 线 ， 过 点分
6、 别 是、 、作 BDDECEA:.求 证， 连 接、， 垂 足 分 别 是 ，)(21C.图 7（a） 图 7（b） 图 7（c） 、如图 7（b） ， 件 不 变 ；的 内 角 平 分 线 ， 其 他 条分 别 是、 ABCEBD、如图 7（c） ， 的 外 角 平 分 线 ，为的 内 角 平 分 线 ，为 ABCE其他条件不变. 则在图7（b） 、图 6（c）两种情况下，DE 与 BC 还平行吗？它与 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行) 练习五、如图 8，在直角三角形 中， ， 的平分线交 于 自 作 交ABC90ABCDC
7、GAB于 ，交 于 自 作 于 ，求证： ADEBGDFFEGA BCDEF12图 8练习六、如图 9 所示，在 中， ， 为 的中点， 是 的平分线，若ABCABMCADBC且交 的延长线于 ，求 证 CFADF12MFD CBA图 9 练习六变形一：如图 10 所示， 是 中 的外角平分线， 于 ， 是 的中ADBCACAEB点，求证 且 E 1()2EDCBA图 10练习六变形二：如图 11 所示，在 中， 平分 ， ， 于 ，求证ABCDACDMAD2ABCMMD CBA图 11 练习七、如图 12，在 中， ， 的平分线 交 与 则ABC2BACBC有 那么如图 13，已知在 中，
8、， ， 求证：ABD312EA2ACBED CBA21ECBA图 12 图 13练习八、在 中， ， 的平分线交 于 ，过 作 ， 为垂足，求A 3BACDBEAD证： ECEDBA练习九、 是 的角平分线， 交 的延长线于 ， 交 于 ADBCBEADEFAC F求证： FD E CF BA3.角分线，分两边，对称全等要记全两个图形的辅助线都是在射线 OA 上取点 B，使 OB=OA，从而使 OAC OBC.（1）.例题应用：、在ABC 中，BAC=60，C=40，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC于 Q，求证：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：1）题意分析：本题
9、考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：本题要证明的是 AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过 O 作 BC 的平行线。得ADOAQO。得到 OD=OQ，AD=AQ，只要再证出 BD=OD 就可以了。解答过程：证明：如图（1），过 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解题后的思考：（1）本题也可以在 AB 上截取 AD=AQ，连 OD，构造全等三角形，即“截长法”。（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：如图（2），过 O 作 ODBC 交 AC 于 D，则ADOABO 从而得以解决。
