1、- 1 -2017-2018 学年度高二上期十月月考数学试题(理科)注意事项：1本试卷分第卷和第卷两个部分。2. 本堂考试 120 分钟，满分 150 分。3答题前，考生务必先将自己的姓名、班级、考号、座位号填写在答题卷的密封线内。4考试结束后，将所有答题卷和机读卡交回。第卷（60 分）一选择题：（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 。1.圆 关于原点对称的圆的方程是( A )2()5xyA. B. 22(-)5xyC. D. 22()()xy2.设 则“ 且 ”是“ ”的( A ),、 Rx24xyA.充分而不必要条件
2、B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件3椭圆 的左右焦点分别为 ,一直线过 交椭圆于 A，B 两点，2167xy12F1则 的周长为 （ B ）2AFA.32 B.16 C. 8 D. 44. 已知命题 ；命题 ， 下列命题为:0,ln(1)px2:,qab若 则真命题的是（ B ） A、pq B、pq C、pq D、pq5已知点 M（a,b） （ab0） ，是圆 内一点，直线 m 是以 M 为中点的弦所在22xyr的直线，直线 l的方程是 ，则（ C ）2abrA. lm 且 与圆相交 B. lm 且 l与圆相切 C. m 且 l与圆相离 D. m 且 与圆相离- 2
3、 -6. 已知椭圆 C：21xyab， （ ab0）的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 0相切，则 C 的离心率为（ A ）A 63 B 3 C 23D 137已知 P为椭圆2=156xy上的一点， MN、 分别为圆 2()xy 和圆 2()3x 24y上的点，则 P 的最小值为（ B ）A5 B7 C13 D158平面内到点（1，1）的距离为 1 且到点（1，4）的距离为 2 的直线有（ C ）条。A. 1 B. 2 C.3 D.49若关于 x的方程 4320xk有且只有两个不同的实数根，则实数 k的取值范围是 ( D )A. B. C. D. 5， +12
4、5， 15，3，12410.已知椭圆2:(0)xyCab 的离心率为 ，过右焦点 F且斜率为 (0)k 的直线与 相交于 AB、 两点若 3FB，则 k（ B ） A.1 B. 2 C. D.211已知椭圆 ，点 为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这:1xCy125M,五点作斜率为 的一组平行线，交椭圆 C 于 ，则 10 条直线 (0)k1210,P的斜率乘积为 （ D ）121,APA. B. C. D. 416832- 3 -【解析】设其中的任一等分点为 ，过 的直线交椭圆于点 、 ，不妨设直线 的方程为 ，则与椭圆方程联立可得：整理后可得 从中可以得到 所以 当 分别取 、 、 、
5、 、 时，算出斜率的乘积为 12关于下列命题,假命题的个数是（ C ） （1）若点 (2,)在圆 01522 kyx外，则 2k或 4. （假）（2）已知圆 )sin()cos:xM与直线 xy，对于 R，总 k 使直线与圆恒相切. （假）（3）已知点 P 是直线 上一动点，PA 、 PB 是圆 C： 20xy的两条切240xy线，A 、 B 是切点，则四边形 PACB 的最小面积是为 2 . （真）（4）设直线系 :cosin2cosM， M中的直线所能围成的正三角形面积等于 312.（假）A1 B.2 C.3 D4第卷（90 分）二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20
6、 分，把答案填在答题卷上的相应位置）.13.若 为圆 的弦 AB 的中点,21， -P2xy则直线 AB 的方程是 . .14若命题“ ,使得 ”是假命题 ,xR210ax则实数 a 的取值范围是 . 15. 在平面直角坐标系 xOy中，已知ABC 顶点 和 ，顶点 B 在椭圆A(-3,)C(,0)- 4 -上，则 . 2156xysin2ACB5616已知以 4T为周期的函数21,(,1()3mxfx，其中 0m。若方程3()fx恰有 5 个实数解，则 的取值范围为 .5(,7)三、解答题：(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)。17（本小题满分 10
7、 分）已知 .0,:1-50,:1-mpxqmx（1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；（2）若 m=5，“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数 x 的取值范围q解：（1） 由题知 ： 因为 是 的充分条件，所以 是 的子集，所以 解得 所以实数 的取值范围是 （2） 当 时， ： ，依题意得， 与 一真一假当 真 假时，有 无解；当 假 真时，有 解得 或 所以实数 的取值范围为 18.（本小题满 12 分）已知 的顶点 ，AB 边上的中线 CM 所在直线方程为ABC5， 1，AC 边上的高 BH 所在直线方程为 求：250xy 250xy（1）顶点 C 的坐标； （2）直
8、线 BC 的方程解： （1） ， ，直线 的方程为 ，整理得 - 5 -由 解得 顶点 的坐标为 （2） 设顶点 的坐标为 ，点 在直线 上， 线段 的中点 的坐标为 ，点 在中线 上，整理得 由 联立，解方程组得 ， ，即点 的坐标为 又 ， 直线 的方程为 ，整理得 19 （本小题满分 12 分）椭圆 与直线 相交于 A，B 两点，C 是 AB21axby10xy的中点，若|AB|2 ，OC 的斜率为 ，求椭圆的方程222解析 方法一：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x 2)(x1x 2)b(y 1y 2)(y1y 2)0.而 1， k OC ，
9、y1 y2x1 x2 y1 y2x1 x2 22代入上式可得 b a.2再由|AB| |x2x 1| |x2x 1|2 ，1 k2 2 2其中 x1，x 2是方程(ab)x 22bxb10 的两根故( )24 4.将 b a 代入，得 a ，b .2ba b b 1a b 2 13 23所求椭圆的方程是 1.x23 2y23方法二：由 得(ab)x 22bxb10.ax2 by2 1，x y 1， )设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB| （ k2 1） （ x1 x2） 2 2.4b2 4（ a b） （ b 1）（ a b） 2|AB|2 ， 1.2a b aba b设
10、C(x，y)，则 x ，y1x .x1 x22 ba b aa b- 6 -OC 的斜率为 ， . 代入，得 a ，b .22 ab 22 13 23椭圆方程为 y21.x23 23方法三：利用中点弦的斜率求解20.（本小题满分 12 分）平面上两点 )0,1(,BA，在圆 4)()3(:22yxC上取一点 P，求: 0cyx恒成立，求 c的范围求 2BA的最值及此时点 P的坐标。解析：由 ，得 xy，由圆的参数方程的cos3sin4c，所以 12c设 ),(baP，则 2ABab，此为圆4)3(:22yxC上的点到原点的距离平方，所以最小值为 20， )512,9(P； 最大值为 100，)
11、528,1(P。21 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C：2=1xyab（ ab0） ，四点 P1（1,1） ， P2（0,1） ，P3（1， 2） ， P4（1， 3）中恰有三点在椭圆 C 上.（1）求 C 的方程；（2）设直线 不经过 P2点且与 C 相交于 A， B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为l1，求证： 过定点.l试题解析：（1）由于 3P， 4两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 3P， 4两点.又由 221ab知， C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上.因此2134ab，解得24ab.故 C 的方程为21xy.（2）设直线 P2A 与直线 P2
12、B 的斜率分别为 k1， k2，- 7 -如果 l 与 x 轴垂直，设 l： x=t，由题设知 0t，且 |2t，可得 A， B 的坐标分别为（ t，24t） ， （ t，24t）.则2212 1ttk，得 2t，不符合题设.从而可设 l： ykxm（ ）.将 ykxm代入214y得22(41)840k由题设可知 =6(1)k.设 A（ x1， y1） ， B（ x2， y2） ，则 x1+x2= 841km， x1x2= 4k.而 212k1xmkx212().由题设 12k，故 1212()()0kxmx.即 48() 04m.解得 2k.当且仅当 1时， 0，欲使 l： 12myx，即
13、1(2)myx，所以 l 过定点（2， ）22 （本小题满分 12 分）平面直角坐标系 xoy中，已知椭圆 2:10Cab的离心率为 32，左、右焦点分别是 12,F，以 1为圆心以 3 为半径的圆与以 2F为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C上. ()求椭圆 C的方程；（）设椭圆2:14xyEab， P为椭圆 上任意一点，过点 P的直线 ykxm- 8 -交椭圆 E于 ,AB两点，射线 PO 交椭圆 E于点 Q.( i )求 OQP的值； （ii）求 AB面积的最大值.试题解析：（I）由题意知 24a ，则 2 ,又 223,cacb 可得 1 ,所以椭圆 C 的标准方程为 21x
14、y.（II）由（I）知椭圆 E 的方程为264,(1)设 0,Pxy， OQ ，由题意知 0,xy 因为2014xy,又22001164，即2014xy,所以 ，即 OQP .（ii）设 12,AxyB 将 km代入椭圆 E 的方程，可得 28160kx由 ，可得 22416k 则有212124,mxk所以21246k因为直线 yx与轴交点的坐标为 0,m 所以 OAB的面积2221641kSx2222(164)4kmk令214tk,将 ykx 代入椭圆 C 的方程可得 2214840kxm 由 0 ，可得 2214m 由可知 t - 9 -因此 2244Stt ,故 23S 当且仅当 1 ，即 mk 时取得最大值 由（i）知， ABQ 面积为 3 ,所以 ABQ面积的最大值为 63 .
