1、比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。一、移动因式法此法
2、好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。例 1：比较 的大小。解： 二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。例 2：比较 与 的大小。解： ，0， 0 三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。例 3：比较 与 的大小。解： 四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。例 4：比较 与 的大小解： 五、求差或求商法求差法的基本思路是：设 为任意两个实数，先求出 与 的差，再根据“当0 时， ；当 时， ；当 0 时， ”来比较 与 的
3、大小。求商法的基本思路是：设 为任意两个实数，先求出 与 的商，再根据“同号：当 1 时， ； 1 时， ； 1 时， 。 异号：正数大于负数” 来比较 与 的大小。例 5：比较 的大小。解： 例 6：比较 的大小。解： 1 六、求倒数法先求两数的倒数，而后再进行比较。例 7：比较 的大小。解： 七、运用媒介法此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。例 8：已知 ， ，试比较的大小。解：设 ，则 ， ， ，即 八、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。例 9：比较 与 的大小。解：设 ，则：
4、1， 1， 九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。例 10：比较 的大小。解：设 ， ，7 8，即 7 8，8 9，即 8 9 ，即 例 11：比较 与 的大小。解： 十、“结论”推理法通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“ （ 0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例 12：比较 1 与 的大小。解： ，由 （ 0）可知：即 又 ，即 1总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理
5、法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。附：“ （ 0）”的证明。证明： ， ， （ 0）【典题新练】：1、比较 与 的大小；2、比较 与 的大小；3、比较 与 的大小；4、比较 与 的大小；5、比较 与 的大小；6、比较 与 的大小（其中 为正整数）；7、设 ， ，试比较它们的大小；8、比较 与 的大小；9、比较 与 的大小；10、 比较 与 的大小；11、比较 与 的大小；12、比较 的
6、大小；13、比较 与 的大小；14、 比较 与 的大小；15、若 为正整数，试比较 的大小；16、比较 的大小；17、比较 与 的大小。【典题新练参考答案】：1、提示： ， ， 2、提示：平方后再进行比较。， ， 3、提示：可利用 （ 0）。 ，即 4、提示：分母有理化后再进行比较。 ， ， ， 5、提示：分子有理化后再进行比较。 ， ，即 6、提示： ，其中 为正整数， 故 7、提示：设 ，则： ， ， 8、平方后再进行比较。， ，又 ， ， 9、提示：2 3，7 8， 5 ， 10、提示：分子有理化后再进行比较。因为 ， ，而 所以 ，故 11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。 ， ， 12、提示： ，而 7 8， 的整数部分为 7 。同样可得的整数部分为 8， 13、提示：
