1、- 1 -一元二次方程的热门应用题一、面积问题例 1 张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为 1 米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为 15 米 3 的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多 2 米现已知购买这种铁皮每平方米需 20 元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？解：设这种运输箱底部宽为 x 米，则长为（x+2）米依题意，得 x（x+2）1=15 化简，得 x2+2x-15=0解之，得 x1=3，x 2=-5（不合题意，舍去） 所以这种运输箱底部长为 5 米，宽为 3 米由长方体展开图知，购买的矩形铁皮面积为（5+2 ） （3+
2、2）=35（米 2） 故购回这张矩形铁皮要花 3520700 元钱点评：本题要深刻理解题意中的已知条件，弄清各数据的相互关系，布列方程，并正确决定一元二次方程根的取舍问题解决此类问题要善于运用转化的思想方法，将实- 2 -际问题转化为数学问题二、数字问题两个数的和等于 6,积等于 8,求这两个数.三、销售利润问题例 2 某种新产品进价是 120 元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：（1）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量减少的数量（件）之间的关系（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利
3、可达到 1 600 元？解：（1）由表格中数量关系可知：该产品每件售价上涨 1 元，其日销量就减少 1 件（2）设每件产品涨价 x 元，则销售价为（130+x）元，日销量为（70-x）件由题意，得（130+x）-120 （70-x ）=1 600，解得 x1=x2=30，130+30=160 （元） - 3 -答：每件商品定价为 160 元时，每日盈利达到 1 600元点评：随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈因此， “销售问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷这不仅较好地锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，而且让同学们真正体会到数学的宝贵价值值得说明的是，第（2）小题还可以用表格
4、中其它两组数据列出方程，结果相同，同学们不妨试一试四、旅游消费问题例 3 （南通市）据 2005 年 5 月 8 日南通日报报道：今年“五一”黄金周期间，我市实现旅游收入再创历史新高，旅游消费呈现多样化，各项消费所占比例如下图所示，其中住宿消费为 3 438.24 万元（1）求我市今年“五一”黄金周期间旅游消费共多少亿元？旅游消费中各项消费的中位数是多少万元？（2）对于“五一”黄金周期间的旅游消费，如果我市2007 年要达到 3.42 亿元的目标，那么，2005 年到 2007 年的平均增长率是多少？- 4 -解：（1）由图知，住宿消费为 3 438.24 万元，占旅游消费的 22.62，所以
5、消费共 3 438.2422.6215 200（万元）=1.52 （亿元） 所以交通消费为 15 20017.562 669.12（万元） 所以我市今年“五一”黄金周期间旅游消费中各项消费的中位数是（3 438.242 669.12）23 053.68（万元） （2）设 2005 年到 2007 年旅游消费的年均增长率为x，则1.52（1+x ） 2=3.42得 x1=0.5=50， x2=-2.5（舍去） 所以 2005 年到 2007 年旅游消费的平均增长率为50点评：本题考查通过统计图获取信息的能力及用方程的思想解决实际问题的能力第（2）小题求年平均增长率，因此属增长率问题在解答这类题时
6、应该掌握其基本关系式：结果量（增长率）n基础量；结果量（1-降- 5 -低率）n基础量（其中 n 为增长或降低次数） 五、节约与环保问题例 4 （宜昌课改实验区）我国人均用纸为 28 公斤，每个初中毕业生离校时大约有 10 公斤废纸；用 1 吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于 18 棵大树，而平均每亩森林只有 50 至 80 棵这样的大树（1）若我市 2005 年初中毕业生中环保意识较强的 5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？（2）宜昌市从 2001 年初开始实施天然林保护工程，到 2003 年初成效显著，森林面积大约由
7、1 374.094 万亩增加到 1 500.545 万亩假设该地区年用纸量的 15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为 415 万人计算：在从 2005 年初到2006 年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩（精确到 1 亩）？解：（1）5 万名初中毕业生废纸回收使森林免遭砍伐的最少亩数为510 4101 0001880=112.5（亩） - 6 -（2）设 2001 年到 2003 年初我市森林面积年均增长率为 x，则 1 374.094（1+x） 2=1 500.45故 x1=0.045=4.5%
8、，x 2=-2.045（舍去） 所以 2005 年初到 2006 年初全年新增森林面积：1500.54510 4（1+4.5） 24.5 737 385（亩） 又全市回收废纸所能保护的森林面积最多为41510 42851 00018506 275（亩） 新增森林面积和保护森林面积之和为：737 385+6 275=743 660（亩） 点评：此例不仅考查了同学们解答实际应用问题的能力，还对同学们发扬节约精神、增强环保意识起到潜移默化的作用六、航海问题某军舰以 20 节的速度由西向东航行,一艘电子侦察船以 30 节的速度由南向北航行,它能侦察出周围 50 海里(包括 50 海里) 范围内的目标.
9、如图,当该军舰行至 A 处时,电子侦察船A北 东B- 7 -正位于 A 处的正南方向的 B 处,瓶 AB=90 海里.如果军舰和侦察船仍按原来速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰 ?如果能,最早何时能侦察到?如果不能,请说明理由.七、图表信息应用问题单一图象信息的应用问题：例 1美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某市城区近几年来通过拆旧房，植草、栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加，如图1，（1）根据图中提供的信息，回答下列问题：2005 年底的绿地面积为 公顷；比 2004 年底增加了 公顷；在 2003 年、2004 年、2005 年这
10、三年中绿地面各增加最多的一年是 。（2）为了满足城市发展的需要，计划在 2007 年底使绿地面积达到 72.6 公顷，试求 2006 年、2007 年两年绿地面积的年平均增长率。解析：环境保护是当今社会的一个热点点问题。本题- 8 -主要考查在阅读、理解、读图的基础上用一元二次方程解决实际问题的能力。认真观察图象从中获取有用的信息是解题的关键。解：（1）60，4，2004；（2）设平均增长率为 ，由题意得 ，即x260(1)7.6x。().x12,x（不合题意舍去） 。答：略。2.0.1x多个图象信息的应用问题：例 2某开发区为改善居民的住房条件，第年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均
11、住房面积=） ，该开发区 2003 年至 2005 年，/该 区 住 房 面 积 ， 单 位 ： 平 方 米 人该 区 人 口 总 数每年年底人口总数和人均住房面积统计结果如图 2（1） ，（2）请根据上面两图所提供的信息解答下面问题：（1）该区 2004 和 2005 两年中哪一年比上年增加的住- 9 -房面积多？多增加了多少？（2）由于经济发展的需要，预计 2007 年底，该区居民将增加 2 万人，住房面积要达到 13 平方米/人，试求 2006和 2007 这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？解析：由于此题是两个图象的组合，所以应把两个图形结合起来获取获取信息。解：（1）2
12、005 年比 2004 年增加住房面积 2010-189.6=27.2；2004 年比 2005 增加住房面积 189.6-179=19.8；多增加了： 27.2-19.8=7.4（万平方米） 。（2）设住房总面积的年平均增长率应达到 x,由题意得：，即 ，解得： ，013(20)x（ ） 20186x2（ ） 1.43x2（ ）（不合题意舍去） 。.96,.1所以 2006 和 2007 这两年该区住房总面积的年平均增长率应达到 。.%一元二次方程应用新题型一、条件探求型例 1 要建一个面积为 150m2的长方形养鸡场，为了节- 10 -约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为 am，另三
13、边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为 35m（1）求鸡场的长与宽各是多少？（2）题中，墙的长度 a 对题目的解起着怎样的作用？分析：第（2）小题着眼于作为条件出现的常数 a，探索这一条件对题目的解有何影响，需根据第（1）小题的结果进行研究 解：（1）设平行于墙的一边长为 xm，则另一边的长为 ，352x根据题意，得 ，35102xA解得 x1=15，x 2=20当 x=15 时， ；当 x=20 时， 3512x答：略（2）由题意可知：当 a15 时，此题无解；当15a20 时，此题只有一个解；当 a20 时，此题有两解二、方案设计型例 2 某中学有一块长为 am，宽为 bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2 米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩
