1、摘 要 本文应用插值积分法和逼近论的思想，简单重述了推导 Newton-Cotes 公式和 Gauss-Legendre 求积公式的过程，以及这两个公式的系数、精度等问题。并以这两种数值积分的求解方法为基础，应用 quad、 guass 函数编写具体 Matlab程序，通过计算机软件计算出所给题目的近似数值积分。对二者所得的结果进行比较，从而研究了用 Newton-Cotes 和 Gauss-Legendre 公式求积分的方法和二者的精确度问题。得知，这两种求积公式所得的结果 在精度上的确存在差异，结合理论部分更加充分地说明了， n 相同时 Gauss-Legendre 公式比Newton-C
2、otes 公式具有更高的代数精度，但当代数精度相同时，二者计算的结果仍存在细微的差异。 关键字 ：插值积分、 Newton-Cotes 公式、 Gauss-Legendre 公式 数值积分 第 1章 理论依据 逼近论 构造一个简单函数 p(x)近似表示 f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。基于插值原理，推 导出数值积分的基本公式 。 1 插值求积公式 为了用数值方法求 baI(f)= f(x )d x ，对被积函数 f(x)在给定的 n+1 个节点上作 Lagrange 插值，用插值函数 Pn(x)代替 f(x)，就可用 I（ Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积
3、分 I(f(x)。 2Newton Cotes公式 2.1Newton Cotes公式 的推导 当 1.1 插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到 Newton Cotes 公式。 将区间 a,bn 等分， bah n ， n+1 个节点 为 xk=a+kh (k=0,1, ,n) 在节点上对 f(x)的 Lagrange 插值多项式是： 0 0( ) ( ) ( )nn jnkk j kjjkxxp x f xxx 用 Pn(x)代替 f(x)构造求积公式： 0 0( ) ( ) ( )nnbb jn n kaak j kjjkxxI p x d x f x d xxx 记 ， (k=0
4、,1, ,n) 作代换 x=a+th 带入上式，变为： ()0 0 ()nnnnkkjjkb a t jA d t b a Cn k j 其中： (k=0,1, ,n) （ 1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数 f(x)和区间 a,b无关。只要确定 n 就能计算出系数 。 于是得到称为 Newton Cotes 公式 的求积公式： ()0()n nn k kkI b a C y （ 1-2） 其中 称为 Newton Cotes 系数。如表 1 所示。 表 1 Newton Cotes 系数 n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4
5、 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/90 19/288 6 41/840 9/35 9/280 34/105 9/280 9/35 41/840 2.2Newton Cotes公式 误差和稳定性 在积分公式中用插值多项式 Pn(x)代替 f(x)的插值误差是 ( 1 )0()( ) ( ) ( ) ( )( 1 ) !n nn n kkfR x f x p x x xn 因此， Newton Cotes 公式的截断误差是 ( 1 )0()( ) ( )( 1 ) !n nb ka kfR f x x d xn
6、 （ 1-3） 讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（ 1-2）式近似计算 ()ba f xdx 其中计算函数值 f(xn)有误差值 （ k=0,1,2, ,n） 。在 （ 1-2）式中令 设计算 无误差，舍入误差也忽略，则，由（ 1-2）式计算时 引式的误差为 ( ) ( ) ( ) ( )0000( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( . . )nnn n n nn k k k k n n nkke b a C f x C f x b a C C 如果 皆为正，并设 ，则 ，故 有界，即 引起的误差受控制，不超过 ()ba 倍。保证了数值计算的稳定性 。 但当 n 8 时， 将出现负数
7、，这时，数值计算的稳定性不能保证， 所以节点超过 8 时 Newton Cotes 公式 不能用。 当 n为偶数时， Newton Cotes 积分公式具有 n+1 次代数精度。 2.3经典 Newton Cotes公式 当 n=4,5 点公式称为经典 Newton Cotes 公式 0 1 2 3 4( ) ( )00( 7 ( ) 32 ( ) 12 ( ) 32 ( ) 7 ( ) )90( ) ( ) ( ( ) 1 , ( ) 1 1nnnnk k n k k n kkkbaC f x f x f x f x f xy f x I b a C y R f x p x C 其中 (k=
8、0,1, ,4)，它具有 5 次代数精度。 3 Gauss-Legendre求积公式 在积分区间 a,b内对积分节点不作限制，不取等距，积分节点和求积系数都作为待定未知量。通过适当选择节点和求积系数，能构造更有效的高精度求积公式。 3.1计算 ()ba f xdx n阶求积公式 0 ()nn i iiI A f x 若 nI 有 m次代数精度，对 kx (k=0,1, )应有 而 110n bmmi i iai A x x dx 。 3.2 Gauss求积公式 的基本原理 更一般形 式： ( ) ( ) ( )baI f x f x dx （ 2-1） ()x 为权函数，设 ()x 0，且在
9、a,b上可积 ，构造 n 阶求积公式： 0 ()nn i iiI A f x （ 2-2） 积分点 0.nxx使得（ 2-2） 式达到 2n+1 次代数精度，则积分点称为 Gauss 点，（ 2-2）式称为 Gauss 求积公式。 3.3 Gauss-Legendre求积公式 求积分 11 ()f xdx ， 权数 ()x =1， 1,1x 11 1( ) ( )niiif x dx A f x 其中 ix（ i=0， 1， n） 是 n+1阶 Legendre多项式 1()npx的零点，求积系数为： 1 11 1()( ) ( )nii n ipxA d xx x p x （ i=0， 1，
10、 n） 具体 Gauss-Legendre 公式的插值节点和系数见表 2（其中 n为插值节点个数， 为积分点， 为对应积分点的系数 ）。 表二 Gauss-Legendre 公式的插值节点和系数 对一般区间 a,b上的积分 ()ba f xdx ，通过代换 ： 11( ) ( )22x a b b a t 2badx d 将 , x ab 转换到 1,1t 。再用 Gauss-Legendre 求积公式： 11( ) ( )2 2 2ba b a a b b af x d x f t d t 进行积分求解 第 2章 问题描述 用 Newton Cotes 公式、 Gauss-Legendre
11、求 下列积公式计算积分，并比较结果： 1 20 21 dxx 20 2s in211 dxx 第 3章 问题分析 题目给出的是用 Newton Cotes 公式、 Gauss-Legendre 求 1 20 21 dxx 积分 的问题， 为了实现题目要求，应编写 Matlab 程序，实现计算被积函数 在积分区间 0,1的积分，得到最终结果。最后将二者得到的结果进行比较，得出关与 Newton Cotes 公式、 Gauss-Legendre 求积公式精确度的结论。 第 4章 求解计算 1Newton Cotes公式 求解的 Matlab 程序 1.1方法 1： （ 1） 在 Matlab 工作
12、窗口中： fn=inline(2/(1+x.2); y1=quad8(fn,0,1) 运行结果为： y1=1.5078 （ 2） 在 Matlab 工作窗口中： fn=inline(1-1/2*(sin(x).2).(1/2); y2=quad8(fn,0,pi/2) 运行结果为： y2 = 1.3506 1.2方法 2： （ 1） 建立 M 文件： function f=fn(x) f=2./(1+x.2) 在 Matlab 工作窗口中调用函数： y1=quad8(fn,0,1) 运行结果为 y1=1.5078 （ 2） 建立 M 文件： function f=fn(x) f=(1-1/2*
13、(sin(x).2).(1/2) 在 Matlab 工作窗口中调用函数： y2=quad8(fn,0,pi/2) 运行结果为： y2 = 1.3506 2 Gauss-Legendre求积公式 求解的 Matlab 程序 2.1Gauss-Legendre方法的一些准备 Gauss-Legendre： 11 0( ) ( )niiif x dx f X 具有 2n+1 次代数精度。 当 n=2 时， 3 阶 Gauss-Legendre 公式 3()px在 -1， 1上有三个零点： x0=0.7745967 x1=0 x2=-0.7745967 即为高斯点发，对应的 Gauss 求积系数为：
14、0 0.55555556 1 0.88888889 2 0.55555556 对于任意区间（有界区间） a,b,将 , x ab 转换到 1,1t 。再用Gauss-Legendre 求积公式： 11( ) ( )22x a b b a t 2badx dt 11( ) ( )2 2 2ba b a a b b af x d x f t d t 进行积分求解 2.2 n=2 的 Gauss-Legendre方法 （ 1） 先建立 M 文件 ： function g=gauss2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.77
15、45967+c; g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+gaussf(x(3) +0.88888889*gaussf(x(2); function y=gaussf(x); y=2./(1+x.2); 在 Matlab 工作窗口中调用函数： y1=gauss2(gaussf,0,1) 运行结果为： y1=1.5705 （ 2） 先建立 M 文件 ： function g=gauss2(fun,a,b) h=(b-a)/2; c=(a+b)/2; x=h*(-0.7745967)+c,c,h*0.7745967+c; g=h*(0.55555556*(gaussf(x(1)+
16、gaussf(x(3) +0.88888889*gaussf(x(2); function y=gaussf(x); y=(1-1/2*(sin(x).2).(1/2); 在 Matlab 工作窗口中调用函数： y2=gauss2(gaussf,0,pi/2) 运行结果为： y2= 1.3508 第 5章 结论 通过以上变成和计算，得到所求的两组积分： 1 20 21 dxx 202s in211 dxx 应用 Newton Cotes 积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078， y2 = 1.3506，而应用 Gauss-Legendre 方法 所求得的结果分别是 y1=1.5705 和
17、 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出， Newton Cotes 积分公式和 Gauss-Legendre 积分公式在精度上的确存在着差异（两者 n的取值不同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结合第 1 章理论依据的内容， Newton-Cotes积分公式的精度最高可达 n+1 次， Gauss-Legendre 积分公式的精度为 2n+1 次，由此可知，当 n 相同时， Gauss -Legendre 积分公式比 Newton Cotes 积分公式具有更高的代数精度。而就本题而言 Gauss -Legendre 积分公式具有 5次代数精度， Newton Cotes 积分公式也具有 5次代数精度。因此二者所求积分只存在微小的差异，结果都比较准确。
