1、全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形问题中常见的辅助线的作法【 三角形辅助线做法三角形辅助线做法 】图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。【 常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种 】1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“
2、对折” 。2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 。5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。6、特殊方法：在求有关三
3、角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。一、倍长中线（线段）造全等（一）例题讲解例 1、 （“希望杯”试题）已知，如图 中， ， ，求中线 AD 的取值范围。ABC53AC分析：本题的关键是如何把 AB，AC，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。解:延长 AD 到 E，使 ，连接 BED又 ，CBD ，SA3CB (三角形三边关系定理)A即 82 41D经验总结：见中线，延长加倍。例 2、如图， 中，E、F 分别在 AB、AC 上， ，D 是中点，试比较 与 EF 的大小。ABC FECFBE证明：延长 FD 到点 G，使 ，连接 BG、EG
4、D ， ，DCFE CAB DGFECAB D全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 CDFBG E在 中，BEGB ，CFG E例 3、如图， 中， ，E 是 DC 的中点，求证：AD 平分 .AACD BAE证明方法一：利用相似论证。证明： CBD A21E 是 DC 中点 ，ABCAE BC DA ， BADCA EB E即 AD 平分 证明方法二：利用全等论证。证明：延长 AE 到 M，使 ，连结 DMAE易证 CED ，又 AB ， D又 ，ADCME DM AB E即 AD 平分（二）实际应用：1、 （200
5、9 崇文二模）以 的两边 AB、AC 为腰分别向外作等腰 Rt 和等腰 Rt ，ABC ABDACE，连接 DE，M 、N 分别是 BC、DE 的中点。探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系。90CAEBDE CAB DME CAB D全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法图 1MNCABDNECABDM图 2（1）如图 1 当 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ，线段 AM 与 DE 的数量关系ABC是 ；（2）将图 1 中的等腰 Rt 绕点 A 沿逆时针方向旋转 （ ）后，90如图 2 所示， （1）
6、问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。解：（1） ， ；AED2ED证明：延长 AM 到 G，使 ，连 BG，则 ABGC 是平行四边形 ，BC80B又 1 AE再证： D ，M2DABG延长 MN 交 DE 于 H 90A E（2）结论仍然成立证明：如图，延长 CA 至 F，使 ，FA 交 DE 于点 P，并连接 BFAC ，BAD EDF90在 和 中DABE （SAS）F ， N 90AEP EB又 ，AFCMB ，且/21 ，DEGCHABDMNEFCPABDMNE全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法二、
7、截长补短（一）例题讲解例 1、如图， 中， ，AD 平分 ，且 ，求证：ABCA2BACBDAC证明：过 D 作 ，垂足为 M 90M又 ， BA C2AD 平分 BA D在 和 中M， ，CCAD A 90即: D例 2、如图， ，EA，EB 分别平分 ， ，CD 过点 E，求证：B/ CABBDAC证明：在 AB 上截取 ，连接 EFACF在 和 中CAE FAEC 90FEBBD即 在 和 中EFDB （ASA）FE ACA例 3、如图，已知在 内， ， ，P，Q 分别在 BC，CA 上，并且 AP，BQ 分别是 ，B604C BAC的角平分线。求证：BAQ证明：延长 AB 到 D，使
8、，连接 PD则P5DMCABDFEDABC全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法AP，BQ 分别是 ， 的角平分线， ，BAC60BAC4 ， ，3021 8406183 QB又 45D 0在 与 中APC， ，2140D （AAS） D即 QCAB P例 4、如图，在四边形 ABCD 中， ， ，BD 平分 .BACDABC求证： 180CA解：过点 D 作 于 E，过点 D 作 交 BA 的延长线于 FBFBD 平分 ，FE9在 和 中RtAtDCA （HL ）EtFt F 180ADBCA例 5、如图，在 中， ，
9、 ，P 为 AD 上任意一点。CADB求证： P证明：如图，在 AB 上截取 AE，使 ，连接 PEE在 和 中AEPCDB （SAS）APE在 中， ，即BEBPCBA（二）实际应用如图，在四边形 ABCD 中， ，点 E 是 AB 上一个动点，若 ， ，且 ，判D/ 60BBCA60DE45232D QPCAB1EFDCABEDAPCB全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法断 与 的关系并证明你的结论。AEDBC分析：此题连接 AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形
10、全等解决它们的问题。解：有 连接 AC，过 E 作 并 AC 于 F 点BF/则可证 为等边三角形A即 ， 60A 120C又 ，BD/ A又 6E F在 与 中C， ，ADEFECAD E F B点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决。三、平移变换（一）例题讲解例 1、AD 为 的角平分线，直线 于 A.E 为 MN 上一点， 周长记为 ， 周长记为ABCDMNABCAPEBC.求证： .BPP证明：延长 BA 到 F，使 ,连接 EFAAD 为 的角平分线A CD MN CAEDBFE9090 ，A C BFE ACABC+BE+CEAB
11、+AC+BC BCABE 的周长小于 的周长，即CPDEACBDEACBFFNMDEACB全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法例 2、如图，在 的边上取两点 D、E，且 ，求证： .ABCCEBAEDCAB解析：先连接 AF 并延长至 G，使 ，其中 F 是 BC 的中点，连接 GB，GC，GD ，GE可知四边形AFABGC，四边形 ADGE 是平行四边形，延长 AD 至 H，交 BG 于 H运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可进行证明。证明：连接 AF 并延长至 G，使 ，其中 F 是 BC 的中点，连接
12、 GB，GC，GD ，GE CEBD F四边形 ABGC，四边形 ADGE 是平行四边形 ，AG延长 AD 至 H，交 BG 于 H ，DBDG A A即 EC点评：本题考查了三角形三边关系，将证明边的大小关系的问题转化为三角形三边关系问题是解题的关键本题借助辅助线 DH 起枢纽作用。方法 2：取 BC 中点 M，连 AM 并延长至 N，使 ，连 BN，DNAM CEBD （SAS）AN同理 B延长 ND 交 AB 于 P，则 ，PNBAD相加得： AD各减去 DP，得： N AECAB四、借助角平分线造全等（一）例题讲解例 1、如图，已知在 中， ， 的角平分线 AD，CE 相交于点 O.A
13、BC60ABC求证： ODE证明：在 AC 上取点 F，使 ，连接 OFEAD 是 的平分线 A FOE ， CE 是 的平分线CGFHD EACBNMD EACBFODEACB全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 O PAMNEBCDFA CEFBD图 图 图 FCOD 60B 120A 60ACB 1808OFCDOF FD ，CDAEACO即：例 2、如图， 中，AD 平分 ， 且平分 BC， 于 E， 于 F. （1）说明BBACGABDAC的理由；（2）如果 ， ，求 AE、BE 的长。FBEab（1）证明:
14、连接 DB，DC 且平分 BCCDG ， ，AD 平分ABEFBAC Rtt C（2）解: ，DFEA tAt ，即 ，AEFCBCB2 AEba22ba BAFEA ，ba22ba（二）实际应用1、如图，OP 是 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参MON考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 中， 是直角， ，AD、CE 分别是 、 的平分线，AD 、CE 相ABC60BBAC交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在 中，如果 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是A否仍然成
15、立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。GFDEACB全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法解：（1）FE 与 FD 之间的数量关系为 FDE（2）答：（1）中的结论 仍然成立。F证法一：如图 1，在 AC 上截取 ，连结 FG AG ，AF 为公共边， AGEF ， FE ，AD、CE 分别是 、 的平分线60BBAC 32 60CDAF G 及 FC 为公共边4 F DE证法二：如图 2，过点 F 分别作 于点 G， 于点 H ABBCF ，AD、CE 分别是 、 的平分线60BC可得 ，F 是 的内心3 ，1GE
16、H又 D 可证 F FE五、旋转（一）例题讲解例 1、正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点， ，求 的度数。EFDBA解：将 绕点 A 顺时针旋转 ，至DF90ABG BGE又 ， A DAFEAEF又 90DFBEFBEA CD图 121 43GFBEA CD图 221 43HGGFDEACB全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法全等三角形添加辅助线常见方法 45EAF例 2、D 为等腰 斜边 AB 的中点， ，DM，DN 分别交 BC，CA 于点 E，F。BCRtDNM（1）当 绕点 D 转动时，求证： ；MNF
17、E（2）若 ，求四边形 DECF 的面积。分析：（1）连 CD，根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分 ， ， ， ，ACBD45ADAC则 ， ，由 得 ，根据等角的余角相等得到 ，45BC90AN90 FE根据全等三角形的判定易得 ，即可得到结论；（2）由 ，则 ，AFCE FEAS于是四边形 DECF 的面积 ，由而 可得 ，根据三角形的面积公式易求得 ，DSB1CD从而得到四边形 DECF 的面积。解：（1）连 CD，如图，D 为等腰 斜边 AB 的中点ABRtCD 平分 ， ， ，C45ADAC ，4590D NM 90EF A在 和 中CADFE C（2） ADFCES四边形 DECF 的面积 ACDS而 2B 1A四边形 DECF 的面积 21SACD点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质。例 3、 如图， 是边长为 3 的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，以 D 为顶点做一个ABBDC120BC角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，求 的周长。60 AMN解： 是等腰三角形，且DC120BDC 30 是边长为 3 的等边三角形AB NMFDEACBMANMDCB
