1、构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据 120角或 60角，常补形构造等边三角形。1、依据平行线构造等腰三角形例 1：如图。ABC 中， AB=AB，E 为 AB 上一点，F 为 AC 延长线上一点，且 BE=CF，EF 交 BC 于 D，求证 DE=DF.点拔：若证 DE=DF，则联想到 D 是 EF 的中点，
2、中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过 E 或 F 作平行线，构造 X 型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。证明：过 E 作 EGAC 交 BC 于 G1= ACB，2=FAB=ACB=ACB1= BBE=GEBE=CFGE=CF在EDG 和FDC 中3= 42= FGE=CFEDG FDCDE=DF评注：此题过 E 作 AC 的平行线后，构造了等腰BEG，从而达到转化线段的目的。2、依据倍角关系构造等腰三角形例 2：如图。ABC 中， ABC=2 C，AD 是BAC 的平分线求证：AB+BD=AB点拔：在已知条件中出现了一个角是另一个角的 2 倍，可延长 CB，构造等腰三角形，问题即可解
3、决。证明：延长 CB 至 E，使 BE=BA，连接 AEBE=BABAE= EABC=2C, ABC=E+ BAE=2EC=EAC=AEAD 平分BAC1= 2EAD=BAE+1= E+1=C+2=BDAEA=EDED=EB+BD，EB=AB，AC=AEAC=AB+BD评注：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的 2 倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例 3，如图。ABC 中， AB=AC，BAC=90 ，BF 平分ABC，CD BD交 BF 的延长线于 D，求证：BF=2CD点拔：遇到 BD 平分ABC 且 BDCD，可延长 CD、BA 交于
4、E，使角平分线 BD 又成为底边上的中线和高。证明：分别延长 BA、CD 交于点 ECDBDBDC=BDE=901+ E=90BAC=903+ E=901= 3在BAF 和CAE 中1= 3AB=ACBAC=CAE=90BAFCAEBF=CE在BDE 和BCD 中1= 2BD=BDBDE= BDCBDEBDCCD=EDCE=2CDBF=CEBF=2CD评注：当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常延长此线段与角的另一边相交，我们就可以寻找到等腰三角形。4、依据 60角或 120角，常补形构造等边三角形例 4,、如图。BAD=120 BD=DC AB+AD=AC求证：AC 平分BAD点拨：
5、由 AB+AD=AC 知，应延长 BA,将 AB+AD 集中成为一条线段，使 AE=AD 则EAD=60ADE 为等边三角形，余下的只要证CAD=60既得证明：延长 BA 到 E,使 AE=AD 连接 DEBAD=120DAE=180-120=60又 AE=ADDAE 是等边三角形DE=AD E=60BE=AB+AE AC=AB+ADAE=ADBE=AC在BDE 和CDA 中BD=CDBE=CADE=ADBDECDACAD=E=60BAD=120BAC=CAD=60AC 平分BAD评注：在三角形的问题中，120角也是常见角，可以利用 120的外角找到 60的角，经过添加线段的关系，构造等边三角形。
