1、几何画板辅助高中数学教学浙江省金华市江南中学 朱胜泉【摘要】“几何画板 ”是一个动态讨论和研究数学问题的工具，它可以模拟知识的发生过程，可以设计成一种实验课。在数学学科中，利用“几何画板” 辅助教学往往能起到事半功倍的效果。因此 “几何画板”对发展学生的思维能力，培养学生的创新精神、探索能力起着不可忽视的作用。【关键词】几何画板 高中数学 辅助教学几何画板为数学教学提供了现代化的手段。它能使几何图形产生动态的变化，以揭示图形内在的联系，创设情境使学生“ 看到 ”某些概念的形成过程，把抽象概念形象化，从而有利于学生的理解，提高教学效果。几何画板是数形结合方法的有效平台。它还是一个动态讨论和研究数
2、学问题的工具，对发展学生的思维能力，创新能力有着不可忽视的作用。越来越多的教师和学生已经感觉到了几何画板给中学数学带来了一些变化。1.应用“几何画板”使不容易讲清的数学概念讲清楚几何画板是一个教学工具，给数学教学提供了现代化的教学手段。以往不容易讲清楚的教学概念适当使用几何画板，可能容易使学生理解，从而提高了教学效果。 解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的离心角（下图以 OA 为终边的角）与旋转角（椭圆的半径与 x 轴的正半轴所成的角）是学生容易混淆的两个概念。几何画板能动态地显示这两角的关系。如下图，当您缓慢拖动主动点 A 绕着点 O转动时，左上角显示出这两个角的大小都在改变。可以十
3、分清楚地看出：在第一象限时，XOM；当 A 拖动到 y 轴的正向时，=XOM=90 o;继续拖动 XOM(A 在第二象限)；当 A 拖动到 y 轴的负向时，= XOM=180o;不必继续，一个高二的学生自然知道： 与XOM 有四次“相等”，其他都不等；可以用椭圆离心角的范围来表示椭圆弧。xyAOB M= 50 XOM = 37 2.用几何画板创设情境，形成概念数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是通过一定量具体的实际例子，对所发现的属性进行抽象概括而成的.利用几何画板提供给学生一些动态的感性材料，呈现事物形成、变化、发展的全过程，凸现感知对象整体和各个局部以及它们之间的联系，便于
4、学生形成清晰的表象，揭示感知对象的本质特征。例 1：教 师 利 用 在 课 前 制 作 好 的 几 何 画 板 画 出 的 的 图 象 。 给 学 生 观 察 下 图 ：xay然 后 拖 动 点 A， 改 变 点 A 的 横 坐 标 的 大 小 也 就 是 改 变 参 数 的 大 小 ， 这 时 图 象 跟 着 变 化 起 来 。 （ 适a当 请 学 生 注 意 时 的 图 像 正 好 是 一 条 直 线 ）1a需 要 时 ， 还 可 以 选 中 函 数 图 象 ， 单 击 显 示 菜 单 的 追 踪 对 象 （ 或 者 按 Ctrl+T） 追 踪 它 ， 然 后 再 拖 动点 A,观 察 随
5、 的 变 化 图 象 分 布 情 况 。( )追 踪 图 像 ( )追 踪 图 像xay,1 xay,10让 学 生 通 过 动 态 的 变 换 效 果 ， 从 中 总 结 出 一 般 性 的 结 论 ， 再 通 过 相 关 的 习 题 强 化 训 练 ， 以 进 一 步 在视 觉 上 加 深 对 结 论 的 印 象 。 这 样 ， 可 以 利 用 “几 何 画 板 ”制 作 的 课 件 进 行 拖 拉 演 示 ， 使 学 生 通 过想 象 和 “几 何 画 板 ”制 作 课 件 的 演 示 ， 使 很 难 理 解 的 东 西 形 象 化 、 具 体 化 ， 从 而 培 养 学 生 的 想 象
6、 能力 。利 用 几 何 画 板 画 出 函 数 图 象 ， 并 利 用 跟 踪 功 能 感 知 、 体 会 函 数 图 象 的 形 成 过 程 ， 归 纳 函 数 图 象的 定 义 。 几 何 画 板 动 态 地 展 示 了 函 数 （ ） 的 图 象 的 形 成 过 程 ， 学 生 可 以 真 实xay1,0a且地 看 到 函 数 的 图 象 实 质 。3.用几何画板改善认知环境；激发学生的学习兴趣，提高学习效率计算机的交互性使学生有参与的机会，能调动学生的积极性和学习兴趣，使其学习起来轻松愉快。例 2：我们在进行“三角函数线”的教学时这样操作(如图 1)：首先要求学生测算出XOP 的正弦
7、、余弦、正切、余切函数值，接着再测算出点 P、M、T、S 的坐标，并将这些数据动态地展现在屏幕上。其次拖动点 P(也可拖动点 A)，让学生观察。此时学生即可发现：无论怎样改变点 P 的位置，yP、 xM、y T、 xS 均分别等于 XOP 的正弦、余弦、正切、函数值。这样为培养学生的观察、想象、归纳等能力创设了极好的“情景” ，改善了认知环境，增强了教学的自主性和学生的参与性。4.应用几何画板变静态为动态应用几何画板将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生A A 图 2 的想
8、象力和创造力得到充分发挥。在讲二面角的定义时（如图 2） ，当拖动 点 A 时，点 A 所在的半平面也随之转动，即改变二面角的大小，图 形的直观地变动有利于帮助学生建立空间观念和空间想象力。在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分 割成棱台的过程（如图3） ，更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学 生在直观掌握棱台的定义，并通过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数学的兴趣。在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图 4） ，既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。在用祖暅原理推导球的体
9、积时，运用动画和轨迹功能作图 5，当拖动点 O 时，平行于桌面的平面截球和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。 4 5.应用几何画板开展“数形结合” ，变抽象为形象数学家华罗庚说过：“数缺少形时少直觉，形缺少数时难入微” 。 “数形结合”是学习数学的重要方法，用图形解释抽象的数学现象形象、直观。在数学的学习过程中，有些知识太抽象，使学生只记住一些理论、符号、公式，而对具体事实及事物的本质特征没有完全感知，使感性与理性脱节。数学的抽象性往往是困扰学生学习数学的一大障碍，如何变抽象为形象，也一直是数学学科与信息技术整合的主要内容之
10、一。几何画板强大的计算、作图功能以及个人电脑屏幕的的大尺寸、高分辨率为一些抽象的数学问题提供了直观验证的可能，成为帮助学生克服数学学习抽象性的有力工具。例 3：2006 年浦东新区高考模拟卷（理）最后一题第（3）题：当 时，就函数 与01axya的图像的交点情况提出你的问题，并加以解决。logayx（说明：函数 有如下性质：在区间 上单调递减，在区间 上单调递增解题过()lnfx1(0,e,1)e程中可以利用；将根据提出和解决问题的不同层次区别给分。）5 本题的结论是：当 时，函数 与 的图像有 3 个交点；当 时，函数(0,)eaxyalogax,1)ea与 的图像有 1 个交点（具体解答从
11、略）但在课后，虽然学生承认结论的成立，但很多学生xyalogx还是表现出难以信服的表情。有的同学虽然借助计算器计算有关数据得到了一定的直观论证，但始终难以将 时函数 与 的图像的 3 个交点直观的画出来，迫切地吵着要我画出直观图。(0,)exyalogax究其原因，主要是手工画图误差较大，即使 TI 图形计算器，由于分辨率不高也不能达到很好的展示效果。为此，笔者借助几何画板自制课件：先作出点 供参照；(,0)e作连接原点和单位点的线段，在此线段上任取一点 E，计算 E 点横坐标 xE；利用“图表”菜单“绘制函数”功能画出函数 和 的图像；()xf()log拖动点 E 控制两个函数的底 xE 在
12、 内递减变0,1化。直观地演示了当时的 1 个交点(,)eEx（如图 6） 、到当时的一个切点eE（如图 7） 、直到时的 3 个交点（如图 8）的整个过程，有效地验证了用数学方法解得的结论，同学们都露出(0,)eEx了恍然大悟的微笑。图 6 图 7 图 86用几何画板能够揭示知识之间的内在联系静态的图形、图像使原本相互联系的关系可能割裂开来，不易揭示知识之间的内在联系，可能使学生只注意事物的局部而忽视整体，通过几何画板的演示可以克服这一缺陷。例 4：在讲授函数 yAsin(x+)+b 的图像时，要用几个课时的时间分别对 A、 、k 的不同取值做出图象，然后再“观察”总结，没有动态的演示，没有
13、更多的比较、更多的探索。yAsin( x 十 )中的 变化时是一个曲线族。一般的传统教学是取有限的几个 值，在同一坐标系中分别作出它们的图像，然后进行归纳。现在，利用几何画板(如图 2)，只要学生用鼠标拖动 A、，改变其中任意一个值，就可以看到函数图像连续变化的过程。7.应用几何画板启发学生思维能力运用几何画板分辨实质，理解数学概念；突破难点，启发学生思维。对容易混淆的数学概念使用计算机来认知、辨析就会变得更加清晰，有助于学生区分及正确认识和理解。推证三棱锥的体积公式是高中立体几何的一个难点，没有实物、没有模型而凭空想象，是空间想象中最难的一种，是最高的思维境界。在教学的时候，如果给出实物让学
14、生去做实验，效果会好些；但如果仅有实物，则只可观察外形，对于内部结构，以及如何用图形来表示等问题都不是很容易解决的。利用几何画板就可以给学生找出解决问题的有效途径(如图 3)，只要双击展开、复原等按扭，或者拖动控点就能改变三棱柱的外形，以及对图形进行分割、拼凑，既形象又直观。在这一过程中，三棱锥与三棱柱的关系被几何画板淋漓尽致地动态演示出来了。给学生以非常直观的印象，达到了过目不忘、记忆深刻的效果，既帮助学生进行正确的理解，也启发了学生的思维。例 5：已知点 A(3,4) 、B(3,2) ，过点 P(2,1)的直线 l 与线段 AB 有公共点。求直线 l 的斜率 k 和倾斜角 的范围。学生知道
15、：直线 l 应当夹在直线 PA 与直线 PB 之间，因而需要先求得直线 PA 与直线 PB 的斜率和倾斜角分别为 kPA1、 kPB3， PA 、 PBarctan3 然后写出答案：43arctan3 l ，1k l3 或者 3k l1(这是错误的!)。并且他们总是想不通为什么正确答案是43kl1 或者 kl3。原因是他们总是这样理解的：因为直线 l 是连续运动的，所以它的倾斜角和斜率也都应当是连续变化的。为了说明这个问题，我们运用了几何画板：让学生动手操作并认真观察，就能发现：当直线的倾斜角为 90时，直线的斜率是不存在的，所以尽管倾斜角在连续改变，但其斜率并不是连续变化的。这样既消除了疑惑，又加深、加快了对知识的理解，提高了学习的效率。8.应用几何画板参与课堂教学，创新教学模式“一支粉笔写天下，三尺讲台说春秋”是以教师为中心的传统课堂教学模式。这种教学模式能够充分地体现出教学中教的特性，有利于系统知识的传授，但它的不足是没有充分发挥学生的主动性，不利
