圆锥曲线的范围、最值问题.doc

1、 圆锥曲线的最值、范围问题与圆锥曲线有关的范围、最值问题,各种题型都有,既有对圆锥曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,本文从下面几个方面阐述该类题型的求解方法,以引起读者注意一、利用圆锥曲线定义求最值借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理【例 1】已知 是椭圆 内的两个点, 是椭圆上的动点,求 的最大(40),2)AB， ，2159xyMMAB值和最小值【分析】很容易想到联系三角形边的关系,无论 三点是

2、否共线,总有 ,故取不AB、 、 到等号,利用椭圆定义合理转化可以起到柳暗花明又一村的作用【点评】涉及到椭圆焦点的题目,应想到椭圆定义转化条件,使得复杂问题简单化【小试牛刀】【2017 届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知 为抛物线 上一个动点, 为Pxy42Q圆 上一个动点,当点 到点 的距离与点 到抛物线的准线的距离之和最小时,点 的横1)4(22yxPQP坐标为（ ）A B C D8798981717【分析】根据抛物线的定义,点到抛物线的准线的距离等于点到抛物线的焦点的距离,所以点 到点 的距PQ离与点 到准线距离之和的最小值就是点 到点 的距离与到抛物线焦点距离之和的最小值 ,因此

3、当三点PPQ共线时,距离之和取最小值.【解析】设 到抛物线准线的距离为 ,抛物线的焦点为 ,圆心为 ,则dFC,故选 A.minmin17PQdPFCr二、单变量最值问题转化为函数最值建立目标函数求解圆锥曲线的范围、最值问题,是常规方法,关键是选择恰当的变量为自变量【例 2】已知椭圆 C： 210xyab的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.01yx（1）求椭圆的方程.（2）设 为椭圆上一点 ,若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ,且满足P)0,2(MlEST(O 为坐标原点),求实数 的取值范围.OtT

4、St【分析】 （1）由题意可得圆的方程为 ,圆心到直线 的距离 ；22)(aycx01yxdac21根据椭圆 )0(1:2bayxC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得 ,即可得到所求椭圆方程；（）由题意知直线 的斜率存在,设直线cba2c L方程为 ,设 ,将直线方程代入椭圆方程得： ,L)(xky0yxp028212kxk根据 得到 ；设 , 应用韦达定理08162814622kk2k1yS2T.讨论当 k=0, 的情况,确定 的不等式.221221,8xkx tt【解析】 （1）由题意：以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,2

5、2)(aycx圆心到直线 的距离 *01xdac21椭圆 )(:2bayC的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得 2ba cba1c故所求椭圆方程为 .2yx （）由题意知直线 的斜率存在,设直线 方程为 ,设LL)2(xky0,yxp将直线方程代入椭圆方程得： 08212xk 684622k 21k设 , 则 8 分1yxS2T221221 8,8kxkx当 k=0 时,直线 l 的方程为 y=0,此时 t=0, 成立,故,t=0 符合题意.OPtTS当 时0t得 2210 221210 814)4(kxtx kxyty ,820ktx20kty将上式代入椭

6、圆方程得： 1)(6)1(32224ktt整理得： 2216kt由 知2k40t所以t（ ， ）【点评】确定椭圆方程需要两个独立条件,从题中挖掘关于 的等量关系；直线和椭圆的位置关系abc、 、问题,往往要善于利用韦达定理设而不求,利用点 在椭圆上和向量式得 ,进而求函数值域P()tfk【小试牛刀】 【2017 河南西平县高级中学 12 月考】已知中心在原点 ,焦点在 轴上,离心率为 的椭圆Ox32过点 来源:Z。xx。k.Com2(,)（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点 的直线 与该椭圆交于 , 两点,满足直线 , , 的斜率依次成等比数列,求OlPQOPQ面积的取值范围PQ【答案】 （1

7、） ；（2） 214xy(0,)【解析】 （1）由题意可设椭圆方程 ,21(0)xyab则 解得 所以方程为 23,1,cab2,1a24xy（2）由题意可知,直线 的斜率存在且不为 ,故可设直线 的方程为 （ ）,l0lykxm0, ,由 得 ,1()Pxy2()Q2,14ykxm22(4)84(1)kxm则 ,2264(1)(kbkb26(1)0且 , ,1228mx124x故 1212()yk 2121()kxmx因直线 , , 的斜率依次成等比数列,所以 ,OPQ2212112()ykxmxk即 ,又 ,所以 ,即 228014km24k由于直线 , 的斜率存在,且 ,得 且 OPQ0

8、2m21设 为点 到直线 的距离, 则 ,dl 22|()OPQSdxm所以 的取值范围为 OPQS(1)三、二元变量最值问题转化为二次函数最值利用点在二次曲线上,将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题来处理来源:学|科|网【例 2】若点 O、 F 分别为椭圆 的中 心和左焦点 ,点 P 为椭圆上的任一点,则 的最大值2143xy OPF为 【分析】设点 ,利用平面向量数量积坐标表示,将 用变量 表示,借助椭圆方程消元,Pxy（ ， ） OFxy，转化为一元函数的最值问题处理【点评】注意利用“点在椭圆上”这个条件列方程【小试牛刀】抛物线 的焦点为 ,点 为该抛物线上的动点,又已知点 ,则

9、 的取xy82F)(yx )02(A|PF值范围是 .【答案】 2,1【解析】由抛物线的定义可得 ,又 ,2|xPF xyxA8)2()2(| ,48128)(| 2xPFA当 时, ；当 时, ,0x|0 481481|2xxPFA,当且仅当 即 时取等号,于是 ,424xxx48, ,148x21(48x综上所述 的取值范围是 .|PFA,四、双参数最值问题该类问题往往有三种类型：建立两个参数之间的等量关系和不等式关系,通过整体消元得到参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过分离参数,借助一边变量的范围,确定另一个参数的取值范围；建立两个参数的等量关系,通过选取一个参数为自变量,令一个

10、变量为参数（主元思想）,从而确定参数的取值范围【例 3】在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 ：21()xyab 的离心率 ,且 椭 圆 C 上 一 点C32e到 点 Q 的 距 离 最 大 值 为 4,过 点 的 直 线 交 椭 圆 于 点N03（ ， ） 3,0M（ ） .AB、（）求椭圆 C 的方程；（）设 P 为椭圆上一点,且满足 OABtP（O 为坐标原点）,当 3 时,求实数 的取值范围.t【分析】第一问,先利用离心率列出表达式找到 与 的关系 ,又因为椭圆上的 点到点 的距离最大值为abNQ4,利用两点间距离公式列出表达式,因为 在椭圆上,所以 ,代入表达式,利用配方 法求最N2

11、24xy大值,从而求出 ,所以 24a,所以得到椭圆的标准方程；第二问 ,先设 点坐标,由题意设出直21b APB线 方程 ,因为直线与椭圆相交,列出方程 组,消参韦达定得到两根之和、两根之积,用坐标表示AB得出 ,由于点 在椭圆上,得到一个表达式,再由 ,得到一个表达式,2 个表达OtPxyP|3式联立,得到 的取值范围.【解析】 （）223,4cabe 2,ab 则椭圆方程为21,4xyb即 22.xy设 (,)Ny则 22220(3)4(3)Qxyby22236493(1)4ybyb当 1时, NQ有最大值为 , 解得 2,b 24a,椭圆方程是214xy（）设 12(,)(,)(,Ax

12、yBPAB方程为 (3),kx由 23,4ky整得 222(14)640kx. 由 24226(9)0k ,得 215 .1212234,.kxx 12(,)(,OABytxy则2124()()kxtt,121226()().(14)kykxttt由点 P 在椭圆上,得 2224,()()tktk化简得 2236(14)ktk 又由 123,ABx 即 2114,xx 将 12x, 1代入得242 2(64)(1) ,)kk化简,得 22(8)63)0,k则 22180,8 , 15 由,得 222369,4ktk联立,解得 ,t 3t 或 2.t 【点评】第一问中转化为求二次函数最大值后,要

13、注意变量取值范围；第二问利用点 P 在椭圆上,和已知向量等式得变量 的等量关系,和变量 的不等关系联立求参数 的取值范围 kt,kt t【小试牛刀】已知圆 ,若椭圆 的右顶点为圆)0(2:2ryxM)0(1:2bayxC的圆心,离心率为 .（1）求椭圆 的方程；C（2）若存在直线 ,使得直线 与椭圆 分别交于 两点,与圆 分别交于 两点,点kxyl:lCBAMHG在线G段 上 ,且 ,求圆 的半径 的取值范围.ABHMr【解析】 （1）设椭圆的焦距为 2c,因为 1,2,bca所以椭圆的方程为 .1:yxC显然,若点 也在线段 上,则由对称性可知,直线 就是 y 轴,与已知矛盾,所以要使 ,H

14、ABkxBHAG只要 ,所以GAB )1321(32)(12)(142)(8 242422 kkkkrr当 时, .0r当 时, 3,0k )21()31(224kr又显然 ,所以 .)(242r 3r综上,圆 的半径 的取值范围是 .Mr),圆锥曲线中的最值、范围问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是 利用代数方法,即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解【迁移运用】1 【2017 届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定

15、点 和 ,动点 在直线1,0AB,Pxy上移动,椭圆 以 为焦点且经过点 ,则椭圆 的离心率的最大值为（ ）:3lyxC,ABPCA B C. D5105252105【答案】A【解析】 关于直线 的对称点为 ,连接 交直线 于点 ,则椭圆 的长轴1,0:3lyx32ABlPC长的最小值为 ,所以椭圆 的离心率的最大值为 ,故选 A.25ABC15ca2 【2016-2017 学年河北定州市高二上学期期中】过双曲线 的右支上一点 ,分别向圆 ：215yxP1C和圆 ： 作切线,切点分别为 , ,则 的最小值为（ 2(+4)xy2C2(4)1xyMN22|N）A10 B13 C16 D19【答案】

16、B【解析】由题可知, ,因此)1|(|)4|(| 22122 PCPNM3| 2122PN.2212|(|)3|3PC故选 B3 【2017 届湖南长沙一中高三月考五】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为 , .这两条曲线在第一象限的交点为 , 是以 为底边的等腰三角形.若 ,记1F2 P12F1 1|0PF椭圆与双曲线的离心率分别为 、 ,则 的取值范围是（ ）1e212eAA. B. (,)9(,)5C. D.130【答案】C4 【2016 届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知抛物线 ,点 Q 是圆28yx上任意一 点,记抛物线上任意一点到直线 的距离为 ,则 的2:8130Cxy 2dPQ最小值为（ ）A5 B4 C3 D2【答案】C【解析】 如图所示,由题意知,抛物线 的焦点为 ,连接 ,则 将圆 化为28yx(20)FPdFC,圆心为 ,半径为 ,则 ,于是由22(1)(4)xy(14)rQ（当且仅当 三点共线时取得等号） 而 为圆 上的动点 到定点 的距离,显PQFFPQQ然当 三点共线时取得最小值,且为 ,故应选 C22(1)(40)3CrC