1、【第 1 页 共 8 页】微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的 换成 ；(2)通过恒等变形将结论化为易x消除导数符号的形式；(3) 用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号） ，并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 ()Fx例 1：证明柯西中值定理分析：在柯西中值定理的结论 中令 ，得()()fbafggx，先变形为 再两边同时积分得()()fbafxgg()()fxfA，令 ，有 故()()ffCA0()()0fbagxA为所求辅助函数()
2、()()fbaFxgxA例 2：若 , , , 是使得 的实数证明方程012n120 031naa在（0，1）内至少有一实根01axax证：由于 2 231101 0()n naaxdxxC 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取 ） ，则23110() naFxxC1） 在0，1 上连续2） 在（0，1）内可导()x3） =0， F120() 031naa故 满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在 使 ，即()x (,1)()0F亦即 23110 )nxa20 naa【第 2 页 共 7 页】这说明方程 在（0，1）内至少有实根 201naxaxx2 积分法对一些不易凑出原
3、函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数例 3：设 在1，2上连续，在（1，2）内可导， ， 证明()fx 1()2f()f存在 使 1,2()ff分析：结论变形为 ，不易凑成 我们将 换为 ，()20ff()0xFx结论变形为 ，积分得： ，即 ，从()20fx2ln()lnlffxc2()fc而可设辅助函数为 ，有 本题获证2()fxF1F例 4：设函数 ， 在 上连续，在 内可微， 证fg,ab(,)ab()0fab明存在 ，使得： (,)ab()()0ff证：将 变形为 ，将0ffg()ffg()()fg换为 ，则 ，两边关于 积分，得： x()()fxx，所以()()fdg1()()l
4、n()dfgfxgCf，其中 ，由()exp(efxepCgCAepKep()K可得 由上面积分的推导可知，()Kg)()Kfx为一常数 ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的()efx的存在是不成问题的因而令 ，易验证其满足罗尔定理的条()ep()Fxfgx件，原题得证3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数【第 3 页 共 7 页】例 5：证明拉格朗日中值定理分析：通过弦 两个端点的直线方程AB为 ，则函数()()fbayax与直线 AB 的方程之差即函数()fx在两()()fFf xab个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理
5、的条件故上式即为要做辅助函数例 6：若 在 上连续且 试证在 内至少有一点 ，()fx,a(),()ffb(,)ab使 ()f分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数 的图形曲线必跨越 这一条()yfxyx直线，而两者的交点的横坐标 ，恰满足 进而还可由图知道，对 上的同()f,ab一自变量值 ，这两条曲线纵坐标之差 构x()fx成一个新的函数 ，它满足 0,因()g()g而符合介值定理的条件当 为 的一个零点时， 恰等价于 因x()0g()f此即知证明的关键是构造辅助函数 ()fx4 常数 k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 k2）恒
6、等变形使等式一端为 及 构成的代数式，另一端为 及 构成的代a()f b()f数式3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式若是，则把其中一个端点设为 ，x相应的函数值改为 ()fx4）端点换变量 的表达式即为辅助函数 ()Fx【第 4 页 共 7 页】例 7：设 在 上连续，在 内可导， ，试证存在一点()fx,ab(,)ab(0)ab，使等式 成立(,)ab()lnff分析：将结论变形为 ，令 ，则有()lba()lnfkba，令 ，可得辅助函数 ()ln()fkfkxlFxfkx例 8：设 在 上存在，在 ，试证明存在 ，使得x,cb(,)()()()1()2fafbffbcca分析：令
7、，于是有()()()ffbfckab，上式为关于 ， ， 三()()()bcfabfcafkabc点的轮换对称式，令 （or： ，or： ） ，则得辅助函数xcxx()()()()()Fxfffac5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论例 9：设函数 在0，1上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存()Fx在一点 ，使得 C()(ceFC分析：所要证的结论可变形为： ，即110)()()cceeF，因此可构造函数 ，则对 与 在0，1上应用柯(1)0()cFee(xGGx西中值定理即可得到证明例 10：设函数 在0,1上连续，在（0，1）内可
8、导，且 =0，对任意()fx (0)f有 证明存在一点 使 （ 为自然数）成(0,1)x(f(,)()1)nffn立分析：欲证其成立，只需证 由于对任意()1()0nfff【第 5 页 共 7 页】有 ，故只需证： 即(0,1)x(0fx1()()(1)0n nffff，于是引入辅助函数 （ 为自然数） nxf nFxx例 11：设函数 在区间0，+ 上可导，且有 个不同零点：()f试证 在0，+ 内至少有 个不同零点 （其中，120nxx()afx1n为任意实数）a证明：欲证 在0，+ ）内至少有 个不同零点，只需证方程()f=0 在0，+ 内至少有 个不同实根()fx1n因为， ， ，故只
9、需证方程 在 内至少0,)axe0axe()0fx,+)有 个不同实根1n引入辅助函数 ，易验证 在区间 ， ，()()axFf()Fx12,3,上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这 个区间上应用罗尔定理，得1,nx n，其中 且21()()0nF12231(,)(,)(,)nnxxx110n以上说明方程 在 0，+ 内至少有()Fx12,x3,1,nx个不同实根，从而证明了方程 =0 在0，+ 内至少有 个不同n()af1n实根6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含 的部分为 ，再将等式中一个端M点的值 换成变量 ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数 ，这样bx ()x
10、首先可以保证 =0，而由等式关系 =0 自然满足，从而保证 满足罗尔定()()a理条件，再应用罗尔定理最终得到待定常数 与 之间的关系()f例 12：设 是 上的正值可微函数，试证存在 ，使()fx,ab(,)ab【第 6 页 共 7 页】()ln()fbfaa证明：设 ，令 容易验证 在 ln()fbM()()ln)fxMa()x,ab上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在 使 ，解得 ，故(,)ab(0()f()ln()fbfaa例 13：设函数 在 上连续，在 内可导，则在 内至少存在一点fx,b(,)ab(,)ab使 22()()(fbaf证明：将所证等式看作 ，设 ，2()(ffba2
11、()()fbaMb令 ，则 满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在2()()xfaMxx一点 ，使 ，即 ，若 =0，则 ，结论成立；若,b0()2f()0f，则 ，从而有 0()2f 2()fbafba例 14：设 ，则存在 使 1x12(,x21112()xxeex分析：对于此题设 作函21)xeM数 应用罗尔定理可得存在 ，使 ，即11()xxe() 12(,)x()0，从而 ，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说10M1xe明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数证明：将所证等式变形为 ，设 ，2121()xex21xe21()Mx令 ，则 满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在1()xe1()M()x，使 ，即 ，于是 ，故12(,)x()02210e(1)e【第 7 页 共 7 页】21112()xxeex总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数抓住这两点，即可顺利完成证明
