1、一方法综述圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；利用基本不等式求出取值范围；利用函数的值域的求法，确定取值范围二解题策略类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围【例 1】 【安徽省淮北一中 20172018 第四次月考】若 点坐标为 ， 是椭圆 的下焦A1,1F
2、2594yx点，点 是该椭圆上的动点，则 的最大值为 ，最小值为 ，则 _P1PAFMN【答案】 2【指点迷津】本题求最值的方法采用了几何法，在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷【举一反三】 【湖北省重点高中联考协作体 2016-2017 期中考试】已知双曲线 的右2:41(0)xCya顶点到其一条渐近线的距离等于 ，抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则抛物线342:Eypx上的动点 到直线 和 的距离之和的最小值为_EM1:60lxy2:1l【答案】2类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性
3、质求范围【例 2】 【2017 届云南省云南师范大学附属中学适应性月考（五） 】抛物线 上一点到抛物线准线的距离为 ，点 关于 轴的对称点为 ， 为坐标原点， 的内切圆与 切于点 ，点 为内切圆上任意一点，则 的取值范围为_【答案】【解析】因为点 在抛物线上，所以 ，点 A 到准线的距离为 ，解得或 当 时， ，故 舍去，所以抛物线方程为 ，所以 是正三角形，边长为 ，其内切圆方程为 ，如图所示， 设点（ 为参数） ，则 ， 【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到 为等边
4、三角形和内切圆的方程，进而得到点 的坐标，可利用内切圆的方程设出点 含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键【举一反三】 【河南省漯河市高级中学 2018 届上学期第三次模拟】已知椭圆 是椭圆上的两点，线段 的垂直平分线与 轴相交于点 ，则 的取值范围是_ （用 表示）【答案】即答案为 .类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围【例 3】 【江西省九江市 2017 年三模】在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ，点 是 的xOy2:4CxyPC准线 上的动点，过点 作 的两条切线，切点分别为 ，则 面积的最小值为（ ）lPC,ABA B C D 2
5、24【答案】B【指点迷津】解决本题的难点在于利用导数的几何意义确定两个切点 的横坐标间的关系，便于确定直,AB线 在 轴上的解截距ABy【举一反三】 【2016-2017 学年江苏泰州中学月考】已知直线 与椭圆 相1yx210yab交于 两点，且 （ 为坐标原点） ，若椭圆的离心率 ，则 的最大值为,ABOB3,2e_【答案】 102类型四 利用基本不等式求范围【例 4】 【江西省南昌市第二中学 2017-2018 期中考试】如图，已知抛物线 的焦点为 ，直线 过24yxFl且依次交抛物线及圆 于点 四点，则 的最小值为（ ）F214xy,ABCDABCDA B C D 1725132【答案】
6、C【解析】由题意得 ，即为圆的圆心，准线方程为 ,0F1x由抛物线的定义得 ，又 ，所以 1Ax2FAB2A同理 2DCx当直线 与 x 轴垂直时，则有 ，lADx 3154AB当直线 与 x 轴不垂直时，设直线 方程为 ，l l1ykx由 消去 y 整理得 ，21 4yk22240kx ，24,ADADxxk ，当且仅当 时等号成立551342ADBCx4ADx综上可得 选 C132【指点迷津】 （1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简 “看到准线想焦点，看到焦点想准线” ，这是解决抛物线焦点弦有关
7、问题的重要途径（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件【举一反三】 【吉林省普通中学 2018 届第二次调研】已知 为抛物线 的焦点，点 在该抛物线F2yx,AB上且位于 轴的两侧，而且 （ 为坐标原点） ，若 与 的面积分别为 和 ，则x6OABABOF1S2最小值是（ ）124SA B C D 73613243【答案】B设点 在 轴的上方，则 ，Ax10y 1,04F 121211113934262Syyy当且仅当 ，即 时取等号191 的最小值是 6，故选 B. 124S类型五 求解函数值域得范围【例 5】 【云南省师范大学附属中学 2018 届 12
8、月适应性月考】已知椭圆 ： 的右焦点为 ，C2143xyF过点 的两条互相垂直的直线 ， ， 与椭圆 相交于点 ， ， 与椭圆 相交于点 ， ，则下F1l21lCAB2lCD列叙述不正确的是（ ）A 存在直线 ， 使得 值为 71l2ABCDB 存在直线 ， 使得 值为 48C 弦长 存在最大值，且最大值为 4D 弦长 不存在最小值A【答案】D，特别地当 时， ，即 ，则 正确 ；由2134kCD21k247ABCD487ABCDB，故当 时， 取到最大值 ，则 C 正确；由223ABkk0，但当弦 的斜率不存在时， ，故 存在最小值 ，故 D 选项不对，234AB3AB3故选 D【指点迷津】
9、解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决【举一反三】 【河南省 2018 届 12 月联考】已知过抛物线 ： 的焦点 的直线 交抛物线于 ，C28yxFlP两点，若 为线段 的中点，连接 并延长交抛物线 于点 ，则 的取值范围是（ ）QRPQORSORA B C D 0,2,0,2,【答案】D类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围【例 6】 【福建省 2016 届高三毕业班总复习形成性测试】设直线 l 与抛物线 相
10、交于 A，B 两点，2ypx与圆 相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值225(0)xyr范围是（ ）A B C D 1,31,42,32,4【答案】D【举一反三】 【2017-2018 学年黑龙江省黑河市孙吴一中期中考试】已知椭圆 的上、21(0)xyab下顶点、右顶点、右焦点分别为 B2、B 1、A、F，延长 B1F 与 AB2交于点 P，若B 1PA 为钝角，则此椭圆的离心率 e 的取值范围为_【答案】 15,2【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a、b、c， （c= ）2ab可得B 1PA 等于向量 与 的夹角，2BA1FA（a，0） ，B 1（0，b） ，B 2（0，b） ，F 2（c，0） =（a，b） ， =（c，b） ，2A1B 1PA 为钝角， 与 的夹角大于 ，2A2由此可得 0，即ac+b 20，2B1F
