1、1导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。已知函数 （a0）,求函数的单调区间axxf 2)(13)()(a例 1 已知函数 （a0）求函数的单调区间xfln)(22)(xaaxf例 3 已知函数 ，其中 。21f R（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1ayfx,2f（）当 时，求函数 的单调区间与极值。0解：（）当 时，曲线 在点 处的切线方程为 。yfx,f 03256yx（）由于 ，所以
2、,由 ，得 。这两个实根都在0a12)(xaf 0fx12,a定义域 R 内，但不知它们之间 22 211axaxaaf 的大小。因此，需对参数 的取值分 和 两种情况进行讨论。0(1)当 时，则 。易得 在区间 ， 内为减函数，0a12xfx,a,在区间 为增函数。故函数 在 处取得极小值 ；1,f121fa函数 在 处取得极大值 。fx2afa（1） 当 时，则 。易得 在区间 ， 内为增函数，在区间0a1xx),(),1(a为减函数。故函数 在 处取得极小值 ；函数 在),(f1a2ffx处取得极大值 。2xafa2以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时
3、，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。(区间确定零点不确定的典例)例 4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a 元（3a5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元（9x11）时，一年的销售量为（12-x） 2万件.（1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值 Q（a）.解 （1）分公司一年的利润 L（
4、万元）与售价 x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x) 2,x9,11.(2)L(x)=(12-x) 2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令 L=0 得 x=6+ a 或 x=12（不合题意，舍去）.33a5,86+ a .28在 x=6+ a 两侧 L的值由正变负.32所以当 86+ a9 即 3a 时，29Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当 96+ a 即 a5 时，328Lmax=L(6+ a)=(6+ a-3-a)12-(6+ a) 2=4(3- a)3.所以 Q(a)=31.529,)31(4,69aa答 若
5、3a ，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q（a）=9(6-a)（万元） ；29若 a5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润 L 最大，最大值 Q(a)=4（3- a） 3(万元).2932 1（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例 2、已知 2,ln3xaxgxf().求函数 的单调区间;().求函数 xf在 02,tt上的最小值;()对一切的 0, 2xgf恒成立,求实数 a的取值范围. 解：() ,10,1ln)( exfxf 解 得令 ;1,0exf的 单 调 递 减 区 间 是 )(xL0yx129)(xL X=12318a3,
6、1,0 exf解 得令 ） ，的 单 调 递 增 是 （ ef)()()00）,求函数的单调区间 2ln)1(xaxfaf )1()(2例 3 已知 是实数，函数 fxa（）求函数 的单调区间；fx（）设 为 在区间 上的最小值。ga0,2（ ）写出 的表达式；i（ ）求 的取值范围，使得 。62ga4解：（）函数的定义域为 ， ，由0, 3022axxaf 得 。考虑 是否落在导函数 的定义域 内，需对参数 的取值分()0fx3a()f0,及 两种情况进行讨论。a（1） 当 时，则 在 上恒成立，所以 的单调递增区间为 。()0fx,fx0,（2） 当 时，由 ，得 ；由 ，得 。0 3a(
7、)0f3a因此，当 时， 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 。afx,fx,3a（） （ ）由第（ ）问的结论可知：i（1） 当 时， 在 上单调递增，从而 在 上单调递增，所以0f0,f0,2。ga（2） 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以：0fx0,3a,3a 当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，,23a6fx0,23a所以 。23agf93a 当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 。2,3a6fx0,22gafa综上所述， 0,326aga（ ）令 。i6ga若 ，无解；0若 ，由 解得 ；23a36a 若 ，由 解得 。6a2综上所述， 的取值范围为 。2
8、a5三.求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。例 1 已知函数 求函数的单调区间xaxf21)()(axf例 2 已知函数 求函数的单调区间xfln)(axf1)(axf1例 3 设 ，函数 ，kR,1(),(),xfFfxkR试讨论函数 的单调性。()Fx解：1,(),(),fFxfkxRx。21,11,() ,(),2kxkxFxfkxxx 考虑导函数 是否有实根，从而需要对参数 的取值进行讨论。()0xk（一）若 ，则 。由于当 时， 无实根，而当 时，121kxF0()0Fx0k有实根，()0Fx因此，对参数 分 和 两种情况讨论。k0k（1
9、） 当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上为增函数；()Fx(,1)()Fx,1)（2） 当 时， 。0k221()1kxkkkxx由 ，得 ，因为 ，所以 。()Fx121,kk012x由 ，得 ；由 ，得 。()0x()Fxk6因此，当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数。0k()Fx1,)k1(,)k（二）若 ，则 。由于当 时， 无实根，而当 时，1x12()kx0()0Fx0有实根，因此，对参数 分 和 两种情况讨论。()0F0（1） 当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上为减函数；k()Fx1,()x1,（2） 当 时， 。0122()1kkxkx由 ，得 ；由 ，得 。
10、()Fx24()0F24因此，当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数。0k()x21,4k21,k综上所述：（1） 当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在k()Fx,)k(1,)k上为减函数。,（2） 当 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数。0k()x,1)1,（3） 当 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，在F,2,4k上为增函数。21,4k 19设 a0,讨论函数 f（x）=lnx+a（1-a）x 2-2（1-a）x 的单调性。解：函数 的定义域为()fx(0,).(1)()1,aa当 的判别式21()0ax时 ,方 程 (-a) 2().3当 有两个零点，0,
11、03f时（1）1 2(1)()31,2aaxx7且当 内为增函数；12 120,()0,(),(,)xxffxx或 时 在 与当 内为减函数；12 12,()f时 在当 内为增函数；,(),)3axfx时 所 以 在当 内为增函数；1,()0()0f时 在当 时 ，a)1(231aax )1(231ax由 222 )(4)(311aa )(42)(4120)(42a0 0 是增函数，在 上 0 是a,ffa3xff,3axff增函数。所以函数在 x=a 时， ，所以函数在 x=a 时，fxf极 大 fxf极 小因对 有 恒成立， 求实数 的取值范围.极值点 指定区间端点位置关系不确定引起讨0,
12、3x()4f论。讨论如下：a0当两个极值点都在指定区间 内时。即 00 时为什么分为3,000 是增函数，在 上 0 是增函数。a,0xffa,xff,3axff所以函数在 x=a 时， ，所以函数在 x=a 时，ff极 大 ff极 小3,maxffafxf3,0mini有 恒成立，0,()4等价于 0431fa0427596133aa9解得 即 03 时，也就是 103,0时为什么分为 00 是增函数，在 上 3 时， （当 a0 时为什么分为 00 是增函数， 与 矛盾。 3,0xff041843maxff 04xf综上：对 有 恒成立时，实数 的取值范围是 .,()4 932a例 4 设
13、函数 ，其中 ，求函数 的极值点。2ln1fxbx0bfx解：由题意可得 的定义域为 ， ， 的分母 在f,221bxbf f1x定义域 上恒为正，方程 是否有实根，需要对参数 的取值进行讨论。1,20xb（1）当 ，即 时，方程 无实根或只有唯一根 ，所以480b12x2x,在 上恒成立，则 在 上恒成立，所以函数 在2gxx,f1,fx上单调递增，从而函数 在 上无极值点。,fx1,（2）当 ，即 时，方程 ，即 有两个不相等的实根：480b220xb0fx。121,x这两个根是否都在定义域 内呢？又需要对参数 的取值分情况作如下讨论：,b10（）当 时， ，所以 。0b121, 12bb
14、xx12,1,xx此时， 与 随 的变化情况如下表：ffx21,x22,xf0x递减 极小值 递增由此表可知：当 时， 有唯一极小值点 。0bfx21bx（）当 时， ，所以1212, 12b。此时， 与 随 的变化情况如下表：1,xxfxfx112,2,fx00递增 极大值 递减 极小值 递增由此表可知：当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点102bfx12bx。21x综上所述：（1） 当 时， 有唯一极小值点 ；0bfx12bx（2） 当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ；12f 12bx（3） 当 时， 无极值点。bfx从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。(19)()小问 5 分，()小问 7 分.)
