1、第 1 页 共 10 页 2016 四模理科长春市普通高中 2016 届高三质量监测（四） 数学理科第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为|Ayx3,124BABA. B. C. D. 12342. 已知复数 满足 ，则z51izA. B. C. D. 3. 设 ，则“ ”是“ ”的abR,22loglab1abA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知 ， ，则|=|（ ） |
2、A. B. C. D. 23485. 执行如图所示的程序框图，若输出 的值为 ，则判断框内可填入的条件是k8是否开始 2k输出 k结束0,sk1sA. B. C. D. 34s 56s 12s 54s6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积， “势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的体积为A. B. C. D. 42483882第 2 页 共 10 页 2016 四模理科7. 函数 的部分图象如图所示，则()sin()0)2fxAx, 2()9fA. B. C.
3、D. 3128. 已知实数 满足 ， 仅在 处取得最大值，则 的取值范围是xy,04y +()zkxyR(4,6)kA. B. C. D. 1k1k12k9. 如图，从高为 的气球 上测量待建规划铁桥 的长，如果测得桥头 的俯角是 ，桥头h()A()BC()B的俯角是 ，则桥 的长为()CBCA. B. C. D. sin()hcos()inhsin()cohcos()h10. 为双曲线 右支上一点， 、 分别为双曲线的左顶点和右焦点，且M2:10,xyCabAF为等边三角形，则双曲线 的离心率为AFA. B. C. D. 514611. 棱长为 的正四面体 中， 为棱 上一点（不含 两点）
4、，点 到平面 和平面ABDEB,BEACD的距离分别为 ，则 的最小值为BCDab,(1)abA. B. C. D. 232676312. 已知 是定义在 上的函数 的导数，满足 ，且 ，则()fxR()fx()20fxf(1)0f的解集为()0fx第 3 页 共 10 页 2016 四模理科A. B. C. D. (,1)(1,)(,0)(1,)第卷（非选择题，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题24题为选考题，考生根据要求作答.二 、 填 空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20
5、 分 ， 把 正 确 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上 ).13.已知圆 的圆心在直线 上，且经过原点和点 ，则圆 的方程为 _.C21xy(15),C14. 任取实数 ，则满足 的概率为_.0xy, x 15. 等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则使 取最小值的 等于_ _.nanS10152S()nS16. 下列说法中正确的有：_.已知直线 与平面 ，若 ， ， ，则 ；,m,m m用数学归纳法证明 ，从 到 时，等*(1)2()3()nN k1n式左边需乘的代数式是 ；k对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；在判断两个变量
6、与 是否相关时，选择了 个不同的模型，它们的相关指数 分别为：模型 为yx 2R，模型 为 ，模型 为 .其中拟合效果最好的是模型 ；0.9820.83051在空间直角坐标系中，点 关于 轴的对称点 的坐标为 .(12)A,yA(),三、解答题（本大题包括 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分 12 分）已知函数 .()cos)sinfxx（1）利用“五点法”列表，并画出 在 上的图象；(f56,（2） 分别是锐角 中角 的对边.若 ， ，求 的周长的取值范abc,ABC,3a()3fABC围.18. （本小题满分 12 分）某便携式灯具厂的检验
7、室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性.检查人员从中随机抽取 5 件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培） ，数据见下表：10523068415xy产 品 编 号 电 压电 流 .()（1）试估计如对该批次某件产品加以 110 伏电压，产生的电流是多少？（2）依据其行业标准，该类产品电阻在18,22 内为合格品 .以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取 5 件，记随机变量 表示其中合格品个数，求随机变量 的分布列、期望和方差.XX（附：回归方程： ，其中：ybxa12()niiixybaybx，参考数据： ）552ii=1=1=20,
8、0ixyxyx,.19. （本小题满分 12 分）第 4 页 共 10 页 2016 四模理科在四棱锥 中， ， ， 平面 ， ，PABCDBADCPABCD223A=， 为 中点 .30=M（1）证明： 平面 ；（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的长 .PC64PA20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 的直线 交椭圆于 两点，:1(0)xyC+=ab2 12F,1lAB,的最小值为 3，且 的周长为 8.AB| 2ABF（1）求椭圆的方程；（2）当直线 不垂直于 轴时，点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，求 面积lxxABxM的取值范围.21.（本小题
9、满分 12 分）已知函数 .()ln()f=+aR（1）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值；yx1f,32y=xa（2）函数 有两个零点 ,试判断 的符号，并证明.2()gfk1212g请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲.如图， 是圆 的直径，弦 、 的延长线相交于点 ， 垂直 的延长线于点 .ABOBDCAMNBAN（1）求证： 是 的角平分线；DACN(2) 求证： .22BMAB第 5 页 共 10 页 2016 四模理科23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程.
10、在极坐标系中，点 的坐标是 ，曲线 的方程为 .以极点为坐标原点，极轴P(1,0)C2cos()4为 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 的直线 经过点 .x 1lP（1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；l（2）若直线 和曲线 相交于两点 ，求 的值.CAB,22|PB24. （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲.已知函数 ，不等式 对 恒成立.()|1|2|fxx()fxt R(1)求 的取值范围；t(2) 记 的最大值为 ，若正实数 满足 ，求证： .Tab,2T261ab长春市普通高中 2016 届高三质量监测（四）数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题
11、包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. C7. B 8. B 9. A 10. C 11. D 12. A简答与提示：1. 【试题解析】B 由题意可知 ，所以 . 故选 B.|0y2,4B2. 【试题解析】D 复数 ,则 . 故选 D.iziiz1215，5z3. 【试题解析】A “ ”等价于“ ”， “ ”等价于“ ”，故选 A.ba2loglba1baba4. 【试题解析】B 由 可知 ，则 . ,()22243故选 B.5. 【试题解析】C 由程序框图可知，要输出 ，需 时条件成立，当8k164s时条件不成立，从而 . 故选
12、 C.2458162s 126. 【试题解析】C 由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为 . 故选 C.87. 【试题解析】B 由题意可知 ，进而 ，从而 . 3,6A2sin36fxx2()19f故选 B.8. 【试题解析】B 可行域如图所示，目标函数可化为 ，若目标函数仅在 处取最大值，ykz4,则 ，即 . 故选 B. 1k第 6 页 共 10 页 2016 四模理科7654321123486422468101214（4,6CBA9. 【试题解析】A 设气球在地面上的射影点为 ，在 中， ，在 中，DABsinh
13、ABC. 故选 A.sin()sin()BCh10. 【试题解析】C 由题意可知，设双曲线左焦点为 ，由 为等边三角形，所以FM，从而 ，在 中，由余弦定理得，|MFac|3Mac，解得 或 (舍).故选 C.22(3)()4()c4e111. 【试题解析】D 连结 ，由正四面体棱长为 1，有 ，由于 ，,CED63OAABDECADVV有 ，由 可得 ，所以63ab2ab2()ab. 故选 D.(1)6176()3312. 【试题解析】A 由 可知 ，即 在 R 上单调02xff 0)()(22xfexf )()(2xfeg递增，由 得 ，则当 时， . 故选 A.0)(f)(g1，二、填
14、空 题 (本 大 题 包 括 4 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 20 分 )13. 14. 15. 6 或 7 16. 223xy简答与提示：13. 【试题解析】由题意可知，该圆心原点和点 的中垂线 上，又在直线(1,5)2106xy上，因此圆心为 ，半径为 ，因此圆的方程为 . 0(,3)322()(3)1y14. 【试题解析】由题意，点 所满足的区域如图所示，因此 条件下， 的概xy ,x率即为图中阴影面积与正方形面积的比值，其中阴影面积为 ，由321 100 5()()|24xdx几何概型可知概率为 . 512yO x1115. 【试题解析】由题意可知， ，而 ，故公差 ， ，
15、则 ，现380a853a23d1a(10)3nS要求 的最小值，对上式求导可知，当 或 时取最小值.()(1)nS 6n716. 【试题解析】由题意可知，中 的位置不确定，因此错误；用数学归纳法证明m第 7 页 共 10 页 2016 四模理科，从 到 时，等式左边需乘的代*(1)2()213()nn nN kn1数式应为 ，因此错误；满足合情推理，因此正确；根据相关指数的定义可知，相关k指数越接近于 1，模型的拟合效果越好，因此正确；根据空间直角坐标系的性质可知，关于 轴y对称的点对为 和 ，因此正确. 故答案为.(,)xyz(,)z三、解答题(本大题必做题 5 小题，三选一选 1 小题，共
16、 70 分)17. (本小题满分12分)【试题解析】(1) 将函数 化简成为xxf 2sin)6cos()，根据列表()3cos(2fxx2032x6127156y3303可知函数图像如图所示.(6 分)(2) 在锐角 中， ，ABC3(,Afa可知 ，由正弦定理可知 ，3 2sinisinbcBC即 ， ，周长2sinbic，23i()i3sin()6L C其中 ，因此 的取值范围是 . (12 分)6CL3,18. (本小题满分12分)【试题解析】(1)由题意可得 ，所以回归直线 ，故当电压加为0.4,.2ba0.4.2yx110 伏时，估计电流为 5.06 安培 (6 分)(2)经计算，
17、产品编号为的不合格品，其余为合格品，合格概率为 35则 ，有3(5,)XB553()()(0,1234,)iiPXC的分布列为：0 1 2 3 4 5第 8 页 共 10 页 2016 四模理科P52()143()C235()325()C415()53()由于 ，则 ； . (12 分)(,)XBEX61DX19. (本小题满分 12 分)【试题解析】解：取 的中点为 ，连结N,M(1) 是 的中点，MP1/,2NC，且 ，ADBAD，/且四边形 为平行四边形， ，/N又 平面 ， 平面PPC所以 平面 (6 分)/(2)以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，ANxAy为 轴建立如图所示的空间直
18、角坐标系.设Pz，(0)t，由题意可求得：3,1DC.,2(,0)(1,3)BPCt设 为平面 的法向量， 为平面 的法向量，则有：()mxyM,nxyPCD，所以003Pytt (,01)mt，所以003xnCxttyD 3(,)nt二面角 的余弦值为 ，MP6422164|3mtt化简得 ，所以 ，即 (12 分)4250t1tPA20. (本小题满分 12 分)【试题解析】解：(1) 因为 是过焦点 的弦，所以当 轴时， 最小，且最小值为 ，B1FBx|A2ba由题意可知 ，再由椭圆定义知， 的周长为 ，所以 ，所以椭圆的方程23ba24a2,3b为 (4 分)214xy(2)设 方程为
19、 ，AB121(),(,()kxAyBxAy则 ，化简得2()143kxy234840k所以 ， 2128k122xz yxNPAB CDMPABCDMN第 9 页 共 10 页 2016 四模理科则 方程为21,ABykx211()yx化简有 ，将代入可得2121()kxk，221 2164643(3)y xx所以直线 恒过定点 ，所以AB(,0) 2|ABMSy设 ，则 ，整理得 ，:xmy2143xmy(34)690my，所以121269,34y 22226()| 34161919() mm因为 ，所以 ，所以 (12 分)012|3y90,2ABMS21. (本小题满分 12 分)【试
20、题解析】解：(1) (4 分)(),(1)=,afxfa(2)易知 ， 不妨设0a212ln0,()gkx 112,xt所以 121212ln()xx所以 (kx12 12121212121222), (ln)()lnlnlagxxaxkxxxatta ttt 令 ，()l()tht24(1)( 01)htt 所以 在 上单调递减，而 ，所以当 时， ，0,0(ht所以当 时， ；当 时， . (12 分)a12()xga12()xg22. (本小题满分 10 分)【试题解析】解(1) AB 是圆 O 的直径，,即 BDA90M又 MN 垂直 BA 的延长线于点 N，即 90A第 10 页 共
21、 10 页 2016 四模理科M 、 N、 A、 D 四点共圆， NAMDDBCBCB,由于 ，所以90所以 是 的角分线 (5 分)(2) M、 N、 A、 D 四点共圆， B、 C、 A、 D 四点共圆， A +有 NBCM 22 )()(B、 C、 M、 N 四点共圆，所以A所以 (10 分)22A23. (本小题满分 10 分)【试题解析】解(1)由曲线 的极坐标方程 可得， ，因)4cos(22cos2in此曲线 的直角坐标方程为C2xy点 的直角坐标为 ，直线 的倾斜角为 ，所以直线 的参数方程为 为参数 .P(1,0)l135l1,(2,xty)(5 分)(2) 将 为参数 代入 ，有 ，21,(,xty)2xy210t设 ， 对应参数分别为 ，有 ，根据直线参数方程 的几何意义有，AB12,t1212,tt t= . (10 分)22|P1()4t24. (本小题满分 10 分)【试题解析】(1) ，所以 . (5 分)|3fxxx t(2)由(1)知 所以3,T23(0,)ab因为 ，所以 ，又因为 ，所以 （当且仅当 时2ab12ab612abab取“ ”）.
