1、12014 年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛暨 2014 年吉林省高中数学联赛试题参考答案一、选择题（每小题 6 分，共 30 分）1已知函数 ，则 的值为（ ）01)(xxf)1(fA B0 C1 D 2在 中， ， ， ，则 的值为（ ）BC125A7BsinA B C D 58835533下列函数既是奇函数，又在区间 1,上单调递减的是（ ）A ()sinfx B ()1fx C 2l D 2xa4某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出 4 名优胜者则选出的 4 名中恰只有两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）A B C D 31612833215若五项的数列 满足
2、 ，且对任意的 ，均有:na12345,a123450aa,(5)ijj在该数列中ija ； 10 ；524a 为等差数列；n 集合 含 个元素|15ijAaij9则上述论断正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4 2二、填空题（每小题 6 分，共 30 分）6函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，右图中表示的是该函数在区间2, 1上的图像，则的值等于 2014(5)f7在 ABC中， ， ， ，则 3BC1coscsABCAB8下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_ 9给定平面上四点 ，满足 ，则 面积的最大值为 ,OABC4,3,2,3OBCBOABC_ 10方程组
3、 的一个实数解为 3432abcdabcd_dcba三、解答题（第 12 题 15 分，第 13，14，15 每小题 25 分，共 90 分）11设集合 ， ，023|2xA0|2baxB(1) 若 ，求 的值；RACBCRR)(,1|)( ,(2) 若 ，且 ，求实数 的取值范围1b12函数 ， 求函数 的最大值xxf 3cossin)1co2()2)(xf13直线 的方程为 ， 为直线 上的两点，其横坐标恰为关于 的一元二次方程myk,ABm的两个不同的负实数根直线 过点 和线段 的中点， 是 轴上2(1)0kxl(2,0)PABCDy的一条动线段，考虑一切可能的直线 ，当 和线段 无公共
4、点时， 长的最大值是否存在？如果存lCD3在，求出最大值；如果不存在，说明理由14若存在集合 满足： ，且 ，则称 为 的一个二分划,ABABN(,)AB+N（）设 判断 是否为 的一个二分划，说明理由；|3,|31,xkxk+ +N,（）是否能找到 的一个二分划 满足：(,) 中不存在三个成等比数列的数；A 中不存在无穷的等比数列B说明理由一、选择题（每小题 5 分，共 30 分）1已知函数 ，则 的值为（ ）01)(xxf)1(fA B0 C1 D 解： ()()(fff答案: A2在 中， ， ， ，则 的值为（ ）BC1205AB7CBsinA B C D 5883553解：由正弦定理
5、，得 ，5sini7214ca于是 1cot53C所以 sini()sicosinsicotssiBACACA1253答案: D3下列函数既是奇函数，又在区间 1,上单调递减的是（ ）A ()sinfx B ()1fx C 2l D 2xa解：设 ()xf，则 ()lnl()f f4因此， 2()lnxf是奇函数又 为区间 1,上的单调递减函数， 为区间 上的单调递增函数，而41xt lnyt(0,)为 与 的复合函数，因此函数 在区间 1上单调递减2()lnflnyt2x2()lxf答案: C4某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出 4 名优胜者则选出的 4 名中恰只有
6、两个人是同一省份的歌手的概率为（ ）A B C D 3161283321解：选出的 4 名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率 2654163CP答案: A5若五项的数列 满足 ，且对任意的 ，均有:na12345,a123450aa,(5)ijj在该数列中ija ； 10 ；524a 为等差数列；n 集合 含 个元素|15ijAaij9则上述论断正确的有（ ）个A1 B2 C3 D4 解：论断正确的有因为 ，所以 ；01an10a因为 3242525且 ,aan所以 32423524,a于是 13aa所以 为等差数列，且 ，n:0,nd因此 ；集合 含 个元素524|15ijAaij
7、9答案: D5二、填空题（每小题 5 分，共 30 分）6函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数，右图中表示的是该函数在区间2, 1上的图像，则的值等于 2014(5)f解： ()(1)250()1ff7在 ABC中， ， ， ，则 3BCcoscsABCAB解：由已知得 ，于是 ，即 所以,1coscabainiosin2siA或 90情形： ，此时 ，BA,3,0A所以 cos1;2Cb情形： ，此时 ，90BA 2,3,cosbA所以 2cosCb8下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_ 解：由三视图判断该几何体为三棱锥 （如图）,由俯视图知平面 丄平面 ，PAB
8、CPABC;再根据左视图得出 ，进而 丄平面 ，且 ，又从,2,1ACBOABOOAB主视图中得出 PC所以 3463SV9给定平面上四点 ，满足 ，则 面积的最大值为 , ,2,3ABCBC_ OABPC6解：由题可知， ，且 与 的夹角为 .2 7BCOBOCBOC60考虑以原点 为圆心，半径分别为 的三个圆 ，则可以将 固定在圆 上，将,34123, ,12,在圆 上运动.作 于 ，则当且仅当 三点共线且 与 方向相同时， 面A3OD,DADAABC积取得最大值最大此时由 ，得 于是sinBCBOC3217.max(AD)B3(4)72ABCS10方程组 的一个实数解为 3432abcd
9、abcd_dcba解： 恰为方程 的四个实根, 02234xx方程 可变形为02234x8)1(6)1(22 于是 或1242x所以方程组的四个实数解为： ， ， ， 的排列52321（答出四个数的任意一个排列即可） 三、解答题（第 12 题 15 分，第 13，14，15 每小题 25 分，共 90 分）11设集合 ， ，023|2xA0|2baxB(1) 若 ，求 的值；RACBCRR)(,1|)( ,(2) 若 ，且 ，求实数 的取值范围1b解： ， ，设 ,2A),()2,(AR baxf2)(（1） 由 可得 ，RBACxBCR1|)( , 0,4.ab7（2） ， AB当 时，由
10、得 02a当 时，若 ，则 ，当 时， ，不合题意；当 时， ，1B2a1B符合题意 若 ，则 0,(1)0.2,.fa综上， 2a12函数 ， 求函数 的最大值xxf 3cossin)1co()2R)(xf解： xs()2cs(i2ins2 xxxsin2osx2sincosi2i)2co(c2cos28174s2x当 时，函数 取最大值 co)(xf81713直线 的方程为 ， 为直线 上的两点，其横坐标恰为关于 的一元二次方程myk,ABmx的两个不同的负实数根直线 过点 和线段 的中点， 是 轴上2(1)0kx l(2,0)PABCDy的一条动线段，考虑一切可能的直线 ，当 和线段 无
11、公共点时， 长的最大值是否存在？如果存lCD在，求出最大值；如果不存在，说明理由解：设 ，则12(,)(,)AxyB122kx记线段 的中点为 ，则 M21,Mykxk设直线 交 轴于 ，根据 、 、 三点共线得：ly(0,)Qb(,0)P()Qb2(,)8，于是 2100()()bk21bk又 为关于 的一元二次方程 的两个不同的负实数根，知12,xx()0x解得 122220, , 48().kxk12k于是 21(,2)(,)bk所以线段 长的最大值存在，且 CD24|maxCD14若存在集合 满足： ，且 ，则称 为 的一个二分划,ABABN(,)AB+N（）设 判断 是否为 的一个二
12、分划，说明理由；|3,|31,xkxk+ +N,（）是否能找到 的一个二分划 满足：(,) 中不存在三个成等比数列的数；A 中不存在无穷的等比数列B说明理由（） ， ，故 不是 的一个二分划1,ABN(,)AB+N（）能找到中形成的等比数列可以唯一地用一个正整数数对 来表示，其中 为数列的首项， 为数列的+N(,)aqaq公比，反之每一对 也唯一地表示一个无穷的等比数列 正整数数对 可以排序如下(,)aq (,)将这些数对所对应的无穷等比数列依次记为(1,2)3,()1,423,. 12,.ks 先在 中任取一个数 ，在 中取数 ，使得 ；在 中取数 ，使得 ；在 中取数 ，1s1a2s2a21a3s3a31a4s4a使得 ； ；一般的，在 中取数 ，使得 ； 如此得到正整数 ，由这2341a ksk21k 12,k 些数组成集合 ，并令 ，可以证明上述构造的 和 满足题设和ABA+NAB9首先 中每一个无穷等比数列中至少有一项在 中，所以 中不存在无穷等比数列再证 中不存+NABA在三数成等比数列任取 ，不妨设 ，则 ，但由 的取法知,mnraAmnrmnraA，故 即 不成等比数列，所以 中不存在三个成等比数列的数21nra 2,rn,nra
