1、必修 1 复习专题函数之二(值域)吴川三中文科数学出版一 相关概念1、值域：函数 ，我们把函数值的集合 称为函数的值域。Axfy，)( /)(Axf2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大) 数，这个数就是函数的最小(大) 值。因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。二 确定函数值域的原则1、当函数 用表格给出时，函数的值域指表格中实数 y 的集合；)(xfyx 0 1 2 3y=f(x) 1 2 3 4则值域为1，2，3，42、数 的图像给出时，函数的值域是指图像在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合；)(fy3
2、、数 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；x4、由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定。三 基本函数的值域1、一次函数 的值域为 R； 2、二次函数 ；）（ 0abkxy ）（ 02acbxy3、反比例函数 的值域为4();4022 ac，ca 值 域 是时值 域 是时 )(ky；4、数函数 的值域为 ；5、对数函数/y )1(yx且 0/y的值域为 R。6，函数 y=sinx、y=cosx 的值域是 )1(logaxa且 1,四 求函数值域的方法1、观察法： “直线类，反比例函数类”用此方法； 2、配方法.：“二次函数”用配方法求值域；例 1. 的值域；5
3、3(23，求 函 数 xxy解： 1)6(22求 函 数画出图像（图略）从图可知, .7213)65(; 2maxmin yxyx时时所以此函数的值域为 .7213，例 2. 求 的值域；56xy函 数解：设 ;02， 则x ;4)3(5622 xx.40又 .,0,值 域 为2、换元法： 形如 ；常 用 换 元 法 求 值 域 的 函 数且为 常 数、 )0(a，dcbacxbay例 3. 求函数 的值域x142解：设 , , .20tt则 4)1(242tty 4,值 域 为4、判别式法：形如 ；域的 函 数 用 判 别 式 法 求 值不 同 时 为 零，(2121acxbay例 4 求函
4、数 的值域；x解： 要上面的方程有实数根，0122yy 0414)(22yy求出 ,所以函数的值域为或 .,2,(、反函数法：直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。形如 的函数用反函数法求值域；例 求函数 y= 值域。)0(abxdcy 6543x、分离常数法：形如 的函数也可用此法求值域；)(abxdcy例 5 求函数 的值域；213解：方法一：（反函数法）求出函数 的反函数为 ，其定义域为213xy312xy，所以原函数的值域为3/xR且 /R且方法二：（分离常数法） ,272)(31xxy.27,027xx.3/y且的 值 域 为、函数有界性法 (通常和导
5、数结合，是最近高考考的较多的一个内容)直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例 求函数 y= ， ，的值域 1xe2sin1y、数形结合法。例 6 求函数 （方法一可用到图象法）的 值 域|4|y方法二：（单调性） 为 减 函 数时 32,4xyx ;53)(2为 增 函 数时当 32,1xyx所以此函数的值域为;51;14，yx时当 ，5注：不论采用什么方法求函数的值域均应先考虑其定义域。一回顾与应用1若函数 y=f(x)的值域是-2，3 ，则函数 y=f (x)的值域是 （ ）A-2，3 B2，3 C0 ，2
6、D0，332函数 y=log0.3(x2+4x+5)的值域是 .3函数 的值域为 84)(xxf4定义域为 R 的函数 y = f(x)的值域为 a，b，则 f(x+a)的值域为 （ ）A2a，a+b B0，b-a Ca，b D -a，a+ b5若函数 f(x)= 的值域是 -1，1，则函数 f 1(x)的值域是（ ）21logA B -1,1 C D , 2, ),2,(6函数 y=x+ 的值域是 （ ）2x-1Ay| y By |y Cy|y 0 D y|y0 12 12二题型举例1求下列函数的值域：（1） （2）12x x212已知 x1、x 2 是方程 x2-(k-2)x+k2+3k+
7、5=0(k R)的两个实根，求 x12+x22 的最大值。3已知函数 的定义域为 R.862mxy(1) 求实数 m 的取值范围。 （2）当 m 变化时，若 y 的最小值为 f(m)，求 f(m)的值域。三课后练习1函数 的值域是 ；函数 的值域是 。523xy 523xy)0(2函数 y=-x(x+2)(x 0)的反函数的定义域是 。3若函数 的值域为 R，则 k 的取值范围是（ ）)(log21kxA 01)，求 b 的值。231xy7已知函数 f(x)=1-2ax-a2x(a1)。（1）求 f(x)的值域。 （ 2）若 x -2,1时，函数的最小值为-7，求 a 及 f(x)的最大值。答
8、案参考 1D 2. 3. 0，3 4. C 5. A 提示：反函数的值域是原函数的定义域；令0,(，求 x。 6Alog2二1求下列函数的值域：解：（1） ，而 ，所以43)21(xy 43)21(x 34)21(0x； 所以函数的值域是)(3 ),（2） 12)1(212 xxxy= ，所以函数的值域是 。)1(x ,(2 解：令 =（k-2） 2-4(k2+3k+5)= -3k2-16k-16 0，得 。34kx12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3x+5)= -k2-10k-6= -(k+5)2+19 因为 ，所以 34k；-(k+5) 2+19 19-1
9、=18。 故 x12+x22 的最大值是 18。95(k3 解：（1） m=0 满足条件。当 m 0 时，令解得 00；从而解得。yex1（2） ；函数的值域是 。2)2(624)( y 2,(法二： 0，所以函数 y 是 上的增函数，当 x=2 时，y 有最大值 2，从而x1 ,得结论。6解： ，y 在1，b 上为增函数，f(1)=1，f(b)=b；)(22y所以 ；解得：b=1(舍去)、b=3 。所以 b=3b17解：（1）f(x)= -(ax+1)2+21；所以 f(x)的值域是 。)1,(（2）f /(x)0，所以 f(x)为 R 上的减函数，所以 f(1)= -7；即 -（a+1）
10、2+2= -7；a=2.f(-2)= -(2 2+1)2+2= 。所以 a=2，f(x) 的最大值是 。16767必修 1 复习专题之函数(定义域 解析式 分段函数) -答案【你会做哪些】1+1 2D 3 - 4 4 B 5D 6B 7. 解析：本题路程 S与时间 t 的关系有 3 种情况，应分 3 个时间段处理答案： .510.6)(20,ttttS8. 18 4 或 9. 10. V x 0xa/26a)(a【训练反馈】 1B 2A 3C 4D 5B 6D 7 x|-1x8 8 （0，5 9 y= 10提示：若 k=0，则函数的定义域为 R；若 k0，则对任意.43,06,2xxR，kx
11、2+4kx+30，从而，0，解得 0k 从而所求 k 的取值范围为 k|0k 34 3412 （1）f(1) =0，f(4)=2；（2）增函数；（3）3x4补充专题 1-如何求复合函数的定义域？义域是_。 如 ： 函 数 的 定 义 域 是 ， ， ， 则 函 数 的 定abF(xf() )()复合函数定义域的求法：已知 的定义域为 ，求 的定义（ 答 ： ， ）aynm,)(xgfy域，可由 解出 x 的范围，即为 的定义域。ngm)( )(xgf例 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 。fy2,1lo2分析：由函数 的定义域为 可知： ；所以 中有 。)(xf,x)(log2xfy2lo
12、g1x解：依题意知： 解之，得 的定义域为2log142(l2f4|6补充专题二-映射的扩展【知识在线】1对于映射 f：AB，下列说法正确的是 （ ）AA 中某一元素的象可以不止一个 BB 中某一元素的原象可以不止一个CA 中两个不同元素的象必不相同 DB 中两个不同元素的原象可能相同2设集合 A=a，b，c ，B=m ，n，p，那么从集合 A 到 B 可以建立 个一一映射3已知 A=B=R，x A，yB，且 f：x y=ax+b，若 5 和 20 的原象分别是 5 和 10，则 7 在 f 下的象为 4下列函数中，表示同一函数的是 （ ）Af(x)=1，g(x )=xBf( x)=x+1，g
13、( x)= Cf(x)= ，g( x)=|x| Df(x)=x，g( x)=( )2 x2-1x-1 x2 x【讲练平台】例 1 在对应法则“f”下，给出下列从集合 A 到集合 B 的对应：（1）A= N，B=R，f：x y= ；（2）A=N ，B=Z，f ：xy= ；x)1(（3）A=xx 是平面内的三角形，B=yy 是平面内的圆，f：xy 是 x 的外接圆其中能构成映射的是（ ）A （1） 、 （2） B （1） 、 （3） C （2） 、 （3） D （2）分析 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则 f 下，对于集合 A 中的任一元素在 B 中是否都有唯一的象解 在（
14、1）中，元素 “0”在 B 中没有象，不满足“任意性” ，故不能构成映射在（2）中，当 x为偶数时，其象为 1；当 x 为奇数时，其象为-1，而 1，-1B，即 A 中任一元素在 B 中都有唯一的象在（3）中，因为任一三角形都有唯一的外接圆，所以（2） 、 （3）能构成映射答案选 C点评 判断一个对应是否能构成映射，应紧扣映射定义在课本中，已规定 0 是自然数，忽视了这一点，将误认为对应（1）是映射在映射 f：A B 中，A、B 的地位是不对等的，它并不要求 B 中元素均有原象，或有原象也未必唯一一般地，若 A 中元素的象的集合为 C，则 C B如（2）中除 1，-1 以外的任何元素均无原象，
15、 （3）中任一圆的内接三角形都有无数个映射中的集合元素的对象是任意的，可以是数集、点集或其他任意对象，如（3）中的集合对象是几何图形变题 设集合 A=xx 是平面内的圆，B=yy 是平面内的矩形，f：xy 是 x 的内接矩形试问它能否构成映射？ 答案：不能例 2（1999 年全国高考） 已知映射 f：AB，其中集合 A=-3，-2，-1，1，2，3，4，集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对任意 aA，在 B 中和它们对应的元素是|a| ，则集合 B 中元素的个数是 （ ） A4 B5 C6 D7分析 本题主要考查映射的概念及对对应概念的理解解本题应抓住：对应法则 f 是什
16、么？集合 B 中的具体元素是什么？而的解决由来决定7解 依题意，由 AB 的对应法则为 f：a| a|于是，将集合 A 中的 7 个不同元素分别取绝对值后依次得 3，2，1，1，2，3，4由集合元素的互异性可知，B=1，2，3，4，它有 4 个元素，答案选 A点评 准确理解题目本身所给的信息，捕捉对解题有用的成份，是解决问题的关键 不能忽视集合元素的三大特性在解题中的应用本能中如果忽视集合元素的互异性，将导致错选 D例 3 设 A=(x，y)x R，yR 如果由 A 到 A 的一一映射，使象集合中的元素( y-1，x+2)和原象集合中的元素(x，y)对应，那么象(3 ，-4)的原象是 （ ）A
17、 （-5，5） B （4，-6） C （2，-2） D （-6，4）分析 由象与原象的概念可知，本题中的对应法则是 f：( x，y)(y-1，x +2)，问题即：当点(y-1，x+2)是（3，-4）时，对应的 x，y 的值分别是多少？于是由，即象（-3，4）的原象是（-6，4） ，选 D2yx点评 已知原象要求象，只需根据对应法则直接代入计算；已知象元素，反求原象，需逆向思考，通常借助方程思想，通过解方程组来解决在映射 f：AB 中，A 是原象集合，B 是象的集合，对应法则是 f：原象象，二者顺序不能颠倒，否则将误选 A；点(x，y) 是有序数对，x，y 的顺序不能搞错，否则将误选 B例 4
18、设 A=x0x 2，B=y1y 2 ，图 1 中表示 A 到 B 的函数是分析 可根据映 射观点下的函数定义直接求解首先 C 图中， A 中同一个元素 x（除 x=2)与 B 中两个元素对应，它不是映射，当然更不是函数；其次，A、B 两图中，A 所对应的“象”的集合均为y 0y2，而y0y2 B=y1y2，故它们均不能构成函数从而答案选 D点评 函数首先必须是映射，是当集合 A 与 B 均为非空数集时的映射因此，判断一个对应是否能构成函数，应判断：集合 A 与 B 是否为非空数集；f：AB 能否为一个映射另外，函数f：AB 中，象的集合 M 叫函数的值域，且 MB【知能集成】1理解映射的概念，应紧紧抓住映射的两个特性：任意性；唯一性2判断一个对应是不是映射或一一映射，应“回到定义去” ；说明一个对应不是映射或一一映射，只须找出一个反例3深化对函数概念的理解，能从函数三要素（定义域、值域与对应法则）的整体上去把握函数概念在函数三要素中，定义域和对应法则是函数的核心，两个函数当且仅当二者均相同时才8表示同一个函数，而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件【知识在线】1B 26 3 11 4 C
