1、）1第一讲 函数与导数曲线的交点和函数的零点第三课时用导数探讨函数图象的交点或方程的根的个数曲线的交点和函数的零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时，还需要用图象帮助思考，而求函数的单调性与极值以及画函数的图象的有力工具就是导数.【例 1】 （2008 江西卷， 文）已知函数 43241 0fxaxa（）求函数 的单调区间；yfx（）若函数 的图象与直线 恰有两个交点，求 的取值范围1y【分析及解】 （）令 ，3220fxaxax得 1230xaa值在 的已知条件下， 及 随 的变化情况列表如下：fxfxx 2a值2 0a值0a值 a值f 0x减 极小值 增 极大值 增 极小值 减所以
2、 的递增区间为 与 ， 的递减区间为 与f2 a,fx2,a0a,（）要研究函数 的图象与直线 的交点的情况,就要考虑函数yfx1y的极大值和极小值相对于 的位置.yfx由（）得到 ， ，4523fxfa值 4712fxfa值， 40fxa值 xyy = 1-2a aOxy y = 1-2a aO）2由图可知，要使 的图象与直线 恰有两个交点，只需fx1y(1) 两个极小值一个大于 且另一个小于 ,即 ;14457132a(2) 极大值小于 ,即 ，即 或 4a4270【例 2】 （2008 四川 卷,理）已知 是函数 的一个极值3x2()ln(1)0fxax点（）求 ；a（）求函数 的单调区
3、间；()fx（）若直线 与函数 的图像有 3 个交点，求 的取值范围yb()yfxb【分析及解】 （）因为 ，210a所以 因此 (3)6104af6当 时, ,1243121xxfx 由此可知,当 时, 单调递减,当 时, 单调递增,所以, 当3()f()f时, 是函数 的一个极值点16ax2ln)0xax于是, .（）由（）知， ，2()ln()10fxx()x，3f当 时， ，(1)x， ， ()0fx当 时， ，3， (f所以 的单调增区间是 ， 的单调减区间是 ()fx1)(3， ， ， ()fx(13)，（） 与 的图象有 个交点；等价于 有 个实数根；即ybfxfb有 个实数根；
4、此时,函数 的图象与 轴有 个不同交点，0fx3fxbx令 ，16ln10fx）3则 ，213160xx1x令 ，解得 或 ， ， 随 的变化情况列表如下： 为极大值, 为极小值.13由表可得 的示意图：yx为使 图象与 轴有 3 个不同交点,必须的极大值大于零,极小值小于零.即 可化yx10 3值为 解得16ln2903b值6ln29 1b值 l16ln29【例 3】 （2008 陕西卷文）设函数 其中322(),()1,fxaxgax实数 0a（）若 ，求函数 的单调区间；()f（）当函数 与 的图象只有一个公共点且 存在最小值时，记yxg()gx的最小值为 ，求 的值域；()gx()ha
5、()（）若 与 在区间 内均为增函数，求 的取值范围fx,2)aa【分析及解】 （） ，又 ，()33()fxxx0当 时， ；当 时， ，xa或 0(f在 和 内是增函数，在 内是减函数()f,)(,)3(,)a（）由题意知 ，2211xaxxx1 值1 3值 3 值0 0x 极大值 极小值 yx(3, 32ln2-21-b)（1, 16ln2-9-b) y=(x)3O 1）4即 恰有一根（含重根） 2()0xa因为,一定有一根 ,所以, 没有实数根或有两个相等的实数根,因此x2()0a有 ，即 .又 ， 202)(0,当 时， 才存在最小值， ，a()gx(,21)gxaa所以, 于是 的
6、值域为 1,0,2ha)ha(,（）当 时， 在 和 内是增函数， 在 内是()fx,),3()gx1,a增函数由题意得 ，解得 ；031aa当 时， 在 和 内是增函数， 在 内是增函0a()fx,3(,)a()gx1,a数由题意得 ，解得 ；231a3综上可知，实数 的取值范围为 a(,31,)【例 4】(2006 四川卷,文）已知函数 ，其中, 5fxagxfax是的导函数.fx（）对满足 的一切 的值，都有 ，求实数 的取值范围；1a0（）设 ，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图象与直线2m yfx只有一个公共点3y【分析及解】 （）由题意 .235gxa令 ， ,25hxa1对
7、，恒有 ，即 .100h）5 即 解得 .10,.h230,8.x213x故 时，对满足 的一切 的值，都有2,x1a0g（） 23fxm当 时， 的图象与直线 只有一个公共点03f3y当 时，令324,fxmx则 .2x列表： ,m,m00x增 极大 减 极小 增所以, .24min又因为 的值域是 ，且在 上单调fR,递增.所以,当 时函数 的图象与 轴只xyx有一个公共点.当 时，恒有 , max此时, 的图象与 轴不能再有公共点,必须y得极大值小于零,即 , ,x0m3240m解得 .332,0,综上， 的取值范围是 2【例 5】 （2006 福建卷，文）已知 是二次函数，不等式 的解
8、集是()fx()0fx且 在区间 上的最大值是 12。(0,)(fx1,4（I）求 的解析式；)（II）是否存在自然数 使得方程 在区间 内有且只有两个不,m37()0fx(,1)m等的实数根？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由.【分析及解】 （I）因为 是二次函数，且 的解集是()fx()f(0,5)所以可设 ()50.fxa由 , 22 ,14f xax）6因为在区间 上,函数 是减函数,在区间 上, 函数 是增函数.512()fx542()fx所以, 在区间 上的最大值是()fx,4(1)6.fa由已知，得 61.a所以, 的解析式为()fx2()25)0().fxxR（II）
9、方程 等价于方程370317设 则2()1,hxx2()6(1).hxx当 时， 是减函数；0,3()0,当 时， 是增函数。1,x(),()hx因为 01(3),(4)50,327hh所以方程 在区间 内分别有唯一的实数根，而在区间()x,3 (0,3)内没有实数根，(4,)所以存在唯一的自然数 使得方程 在区间 内有且只有两,m7()0fx(,1)m个不同的实数根。【例 6】(2006 福建卷，理） 已知函数 28,)6ln.fgx（I）求 在区间 上的最大值()fx,1t();ht（II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的yfx(y交点？若存在，求出 的取值范围；若不
10、存在，说明理由。m【分析及解】 （I） 22()8(4)16.f当 即 时， 在 上单调递增，14,t3t,t22()1)7;hf t当 即 时，,t4t(htf当 时， 在 上单调递减，()x, 2()8.ft综上，2267,31,84tthtt ）7（II）函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，即函数()yfx()ygx的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点.()xg因为 2()86ln,m所以,286(1)3(0),xxx 当 时， 是增函数；(0,1)()0,()当 时， 是减函数；3当 时， 是增函数；,x,当 或 时，().x于是, maxmin()17,(3)6ln1
11、5.当 充分接近 0 时， 当 充分大时，0()0x因此,要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即()7,6ln3150,x极 大极 小 7156ln3.所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点，m()yfx()g的取值范围为 (,l).【练习题】1.（2005 全国,文）设 为实数，函数 a32()fxa（）求 的极值；()fx（）当 在什么范围内取值时，曲线 与 轴仅有一个交点a()yfx2.研究三次方程 有且只有一个实数根的条件.320faxbcd3、(2007 年全国卷,理) 已知函数 3()fx（）求曲线 在点 处的切线方程；()yfMt，（）设 ，如
12、果过点 可作曲线 的三条切线，证明：0aab， ()yf()bf【分析及解】 （）求函数 的导数； ()fx231x曲线 在点 处的切线方程为：yxt，()ft即 231（）如果有一条切线过点 ，则存在 ，使 ()ab， t()btt于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程， yfx320a有三个相异的实数根记 ，()gttb则 26）86()ta当 变化时， 变化情况如下表：tgt，由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有()gt 0ab()0bfa()0gt一个实数根；当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实0ab()gt32t， t数根；当 时，解方程 得 ，即方程 只
13、有两个相异()f()0tatt， ()0gt的实数根综上，如果过 可作曲线 三条切线，即 有三个相异的实数根，)ab， yfxt则 0().abf，即 ()f【练习题参考答案】1.(I) ,若 ，则 .2()31fx()0fx1,3x当 变化时， ， 变化情况如下表：()f,3,1 ,()fx+ 0 0 +A极大值 A极小值 A 的极大值是 ，极小值是f15()327fa(1)fa(II)函数 32()()xxx由此可知，取足够大的正数时，有 0，取足够小的负数时有 0，所以曲线f ()fx= 与 轴至少有一个交点yf结合 的单调性可知：()解得 .maxin150.327().ffa 1或 解得 .axmin .(1)0.ff527a当 时，曲线 与 轴仅有一个交点。5,27()yfx2. 三次方程 有且只有一个实数根,有下列两种情况:fx(1) 函数 在 上是单调的，这相当于 恒大于零，或R23faxbc0， 0 ()， ()，0 0增 极大值 减 极小值 增）9恒小于零，即 ，即 .2410bac23bac(2) 函数 在 上不是单调的，设 有两个根为fxR20fxbxc(此时 )，这时，它们对应的函数值是极大或极小值 ,需满足12,x或 即 .20,.f12,0.fx120fx因此,三次方程有且只有一个实数根的条件是: 或 .3bac2123,0bacfx
