1、函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f(x) (xR，且 x1) ，g(x)x 22( xR).11 x(1)求 f(2)，g(2)的值；(2)求 fg(3)的值.解 (1)f(x) ，f(2) .11 x 11 2 13又g(x )x 2 2，g(2)2 226.(2)g(3)3 2211，fg(3)f(11) .11 11 112反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于 fg(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 fg(x)与 gf(x)的区别.跟踪训练 4 已知函数 f(x) .x 1x
2、2(1)求 f(2)；(2)求 ff(1).解 (1)f(x) ，f(2) .x 1x 2 2 12 2 34(2)f(1) ，ff(1)f( ) .1 11 2 23 2323 123 2 585.已知函数 f(x)x 2x 1.(1)求 f(2)，f( )；1x(2)若 f(x)5，求 x 的值.解 (1)f(2)2 2215，f( ) 1 .1x 1x2 1x 1 x x2x2(2)f(x) x 2x15，x 2x 60，x2，或 x3.(3)4.函数 f(x)对任意自然数 x 满足 f(x1) f (x)1， f(0)1，则 f(5)_.答案 6解析 f(1)f(0)1112，f (2
3、)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4) f(3)15，f(5)f (4)16.二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；反比例函数 的定义域为x|x 0，值域为y|y 0；)0(kxy二次函数 的定义
4、域为 R，)2acbf当 a0 时，值域为 ；当 a0， = ，xy12)(当 x0 时，则当 时，其最小值 ；ax2abcy4)(2min当 a0）时或最大值（a0）时，0)(0f再比较 的大小决定函数的最大（小）值.),(bfa321-1-23 654321-2 xOy若 a,b,则a,b是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定0x)(xf )(,bfa函数的最大（小）值.注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+ 的值域x32解：由算术平方根的性质，知 0，故 3+ 3。函
5、数的值域为 x32x32.,32、求函数 的值域5,0,2xxy解： 对称轴 ,120,45,1maxin值 域 为时时yx1 单调性法例 3 求函数 y=4x (x1/3)的值域。x31设 f(x)=4x,g(x)= ,(x1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而 y=f(x)+g(x)=4x- x31在定义域为 x1/3 上也为增函数，而且 yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为y|y4/3 。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数 给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间 端点的函数值， 进而可确定函数的 值域。练习：求函数 y=3+
6、 的值域。(答案：y|y3)x42 换元法例 4 求函数 的值域 xy12解：设 ，则tx1)0(2tt2, 210max值 域 为 ，时当且 开 口 向 下，对 称 轴 ytt点评：将无理函数或二次型的函数 转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体 现换元、化 归的思想方法。它的 应用十分广泛。练习：求函数 y= 的值 域。 （答案：y|y3/4 x1求 的值域；xcosin例 5 （三角换元法）求函数 的值域21xy解： 设1x,0cos2,12,1)4in(sicosinco原 函 数 的 值 域 为 y小结：（1）若题目中含有 ，则可设 a )0
7、,cos(2,sinaa或 设（2）若题目中含有 则可设 ，其中12bsin,cob2（3）若题目中含有 ，则可设 ，其中21xcosx0（4）若题目中含有 ，则可设 ，其中2tan2（5）若题目中含有 ，则可设 其中)0,(ryx2sin,coryrx2,03 平方法例 5 （选）求函数 的值域xxy53解：函数定义域为： ,2,4,2 1,058,5318)5(32原 函 数 值 域 为 得由y xxxx4 分离常数法 例 6 求函数 的值域21xy由 ，可得值域13xxy 1y小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的)0(cdbay要求）内，值域为 ；如果是条件定义域
8、（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为 ，用复合函数法来求值)(bcadcxby域。练习求函数 的值域6412xy求函数 的值域13x求函数 y= 的值域；（y(-1， 1)）2x例 7 求 的值域13xy解法一：（图象法）可化为 如图， 3,412,xy观察得值域 y解法二：（不等式法） 同样可得值域4114)(13xxx练习： 的值域 yx,例 8 求函数 的值域)1,0(239xyx解：（换元法）设 ，则 原函数可化为tx331t8,2 8,3;2,1,2 maxmin值 域 为 时时对 称 轴 ytyttty例 9 求函数 的值域xy231解：（换元法）令 ，则1)(22x
9、xt )1(3ty由指数函数的单调性知，原函数的值域为 ,例 10 求函数 的值域)0(2xy解：（图象法）如图，值域为 1,（换元法）设 ，tx3则 11313tyxx00ytt1,原 函 数 的 值 域 为例 13 函数 的值域12xy解法一：（逆求法） 102 yyx1,原 函 数 的 值 域 为解法二：（换元法）设 ，则 tx12原 函 数 值 域 即 得201ytt解法三：（判别式法）原函数可化为 010)1(2yx1） 时 不成立y2） 时， 10)1(40yy1y综合 1） 、2）值域 |解法四：（三角换元法） 设 ，则Rx2,tanx1,2cos,costan12 y原函数的值域为1|y例 14 求函数 的值域3425xy解法一：（判别式法）化为 0)5(2yy1） 时，不成立0y2） 时， 得50)53(8)4( yy25
