1、如何突破抽象函数求定义域宣威市第一中学 王知涛在刚由初中升上高中的学生开始学函数的时候，会遇到求函数定义域的问题，有一类问题抽象函数定义域问题。抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景,且构思新颖,条件隐蔽,技巧性强,解法灵活.由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策. 在人教版必修 1 的教学中涉及到抽象函数定义域的求解，学生普遍感到 难以理解。我 们从如下方面，并结合例题看看常考题型。一、首先让学生明确两点：单独看某个函数，定义域一定是指单位 （自变量）的取值范围（无论是已知的x定义域还是所求的定义域）。
2、函数 y=f() （其中“” 是关于 的表达式），函数 y=f()的定义域指“” 中 X的取值范围而 y=f()中的“” 等价于 y=f(x)中的 X，把括号内的 “”看作一个整体，“”的范围与“X”的范围相同。所以 y=()的定义域只需根据“”所满足的条件求出“”对应的 X 的范围即 为函数 y=()的定义域。首先明确下列三个问题：1 函数 f(x)的定义域为a,b是指谁的范围？2 函数 f(2x+1)的定义域为a,b 是指谁的范围？3 函数 f(x)的定义域为a,b，则函数 f(2x+1)中谁的范围是a,b ？函数 f(2x+1)的定义域为a,b，则函数 f(x)的定义域为a,b对吗？二、
3、抽象函数常见的四中题型1.已知 )(xf的定义域 (=x)，求复合函数 （=g(x)）的定义域xgf由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若 )(xf的定义域为 bax,，求出 )(xgf中 的解 x的范围，即为 g的定义域。ba)(2.已知复合函数 gf （=g(x)）的定义域，求 )(f (=x)的定义域方法是：若 的定义域为 ，则由 确定 的范围即为ba,bx)(xg的定义域。)(xf3.已知复合函数 （=g(x)）的定义域，求 (=h(x)的定义域()fgx()fh结合以上一、二两类定义域的求法，我 们可以得到此类解
4、法为：可先由定义域求得 f的定义域，再由 xf的定义域求得 的定义域。xgf xhf4.已知 的定义域，求四则运算型函数的定义域()若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。二、对应例题一、已知 的定义域，求 的定义域()fx()fgx例 1、已知函数 的定义域为 ，求 的定义域15，(35)fx分析：该函数是由 和 构成的复合函数，其中 是自变量， 是3ux()fuxu中间变量，由于 与 是同一个函数，因此 这 里是已知 ，即()ff 15 ，求 的取 值范围135x x解： 的定义域为 ， ， ()f1535x 40
5、3x 故函数 的定义域为 3)fx410，二、已知 的定义域，求 的定义域(fg()fx例 2 已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域2fx03，()fx分析：令 ，则 ，u2()(fxfu由于 与 是同一函数，因此 的取值范围即为 的定义域()ffx ()fx解：由 ，得 03x 215x 令 ，则 ， 2u()(ffu15 故 的定义域为 ()fx5三、已知 的定义域，求 的定义域g)(xhf例 3. 函数 定义域是 ，则 的定义域分析：已知 的定义域，求 的定义域，可先由 定义域求得的定义域，再由 的定义域求得 的定义域解：先求 的定义域的定义域是 ，即 的定义域是 ，再求 的定义域的定义域是四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集例 4 若 的定义域为 ，求 的定义域()fx35，()(25)xffx解：由 的定义域为 ，则 必有 解f 3， 得 40x 所以函数 的定义域为 ()40，由以上例题可知在同一对应法则下，不管接受法则的对象是什么字母、符号或代数式，其制约的条件是一致的，即都在同一取 值 范围内。也就是 y=f()和y=f(x)是等价的，但要 让学生明确的是复合函数的定义域是指复合函数解析式中x 的取值范围，这一点对学生解决抽象函数的定义域问题之关重要。
