1、开始输入 ww 50 NY输出 c结束（第 4 题）c 25+(w-50)0.8 c 0.5w2016 年 数 学 全 真 模 拟 试 卷 三试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1 已知集合 A 1，0，2，B x|x 2n 1，nZ，则 AB 【答案】 12 设 ， 是平面内两个不共线的向量， ， 若 ，1e2 123 ()xRae12be/ab则 的值x为 【答案】 63 从集合1，2，3中随机取一个元素，记为 a，从集合 2，3，4中随机取一个元素，记为 b，则 ab 的概率为 【答案】 894 如图，是某铁路客运部门设计
2、的甲、乙两地之间旅客托运 行李的费用 （单位：元）与行李重量 （单位：千克）cw之间的流程图假定某旅客的托运费为 10 元，则该旅客托运的行李重量为 千克【答案】205 函数 的零点个数为 0 ()1xfx， ， ，【答案】36 在平面直角坐标系 中，曲线 在xOylnyx处的切线与两坐标轴围成的三角形的面ex积是 【答案】 247 如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方（第 7 题）O 20 40 60 80 100 成绩6 42 108 人数图，利用组中值可估计其的平均分为 【答案】628 若函数 的图象关于坐标原点中心对称，且在()sin()fxAx(0 )， ，轴右侧y的第一个极值点为
3、 ，则函数 的最小正周期为 x()fx【答案】 439 关于定义在 上的函数 ，给出下列三个命题：R()fx若 ，则 不是奇函数；(1)f若 ，则 在 上不是单调减函数；()fR若 对任意的 恒成立，则 是周期函数()1fxfx()fx其中所有正确的命题序号是 【答案】10 已知数列 的前 项和 ，且 既不是等差数列，也不是等比数na1 ()nSkRna列，则 的k取值集合是 【答案】 0【解析】 11 如果将直线 ： 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得直线 与l20xyc l圆 ：C相切，则实数 的值构成的集合为 24xyc【答案】 ， 31【解析】易得直线 ： ，即 ，圆
4、：l()2()0xyc250xycC22(1)()5xy的圆心 到直线 ： 的距离 ，解得 或(1 )， l250xyc85c3c13c12 已知正数 x，y 满足 ，则 y 的最大值为 3x【答案】 13【解析】由 ，得 ，23xy212xyx所以 ，从而 ，解得 11yxx 310y 13y13 考察下列等式：，1cosini4ab，22，33cosini4ab，csiinn其中 为虚数单位，a n，b n(n )均为实数由归纳可得，a 2015 b2015 的值为 *N 【答案】0【解析】通过归纳可得， ，从而 a2015 b2015cosincosin44215cos40215sin4
5、14 在 ABC 中， ， 设 ， 交于点 ，且 ，3AEB23FACBFEPECFPB( , ),则 的值为 R【答案】 57【解析】不妨考虑等腰直角三角形 ABC，设 AB ， ，3AC以 AB， 分别为 轴， 轴建立平面直角坐标系 ，ACxyxOy则 A ， ， ， ， ，(0 )， (3 )B， (0 3)， (1 )E， (0 2)F，直线 的方程为： ，F2yxAB CP（第 16 题）D直线 的方程为： ，CE13yx由得， ， ，所以 ，7232 7P，代入 ， 得， ， ， PFB1(0)3(0)7解得 ， ，故 47157二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题
6、卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本题满分14 分）已知ABC 内接于单位圆 （半径为 1 个单位长度的圆） ，且 (1tan)(t)2AB（1 ）求角 的大小； C（2 ）求ABC 面积的最大值（1 ）由 得 ，(tan)(1t)2ABtant1tanABA所以 ， （4 分）t故ABC 中， ， （6 分）C（2 ） 由正弦定理得 ，即 ， （8 分）2sincc由余弦定理得 ，即 ， （10 分）2osab2ab由 得 ， （当且仅当 时取等号） （122 a b ab分）所以 .（14 分）2113sin2Sab16 （本题满分 14 分）如图，在四棱锥
7、 中，锐角三角形 所PABCDPAB在的平面与底面 垂直， D90（1）求证： 平面 ；A BCD（2 ）求证： 平面 /ADPBC证明：（1）在平面 内过点 作 于 ，HAB因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面DPABCDPH，PAB所以 平面 ， （4 分)PHABC而 平面 ，所以 ，BPHB由 得 ，90又 ， 平面 ，P ， A所以 平面 ， （8 分)BCA（2）因为 平面 ，故 ， BC由 得 ，90D故在平面 中， ， （11 分)A/又 平面 ， 平面 ，PBPB所以 平面 （14 分)/C17 （本题满分 14 分）某公司设计如图所示的环状绿化景观带，该景观带的内圈由两条
8、平行线段（图中的AB， DC）和两个半圆构成，设 AB x m，且 80（1 ）若内圈周长为 400 m，则 x 取何值时，矩形 ABCD 的面积最大？（2 ）若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2，则 x 取何值时，内圈周长最小？5【解】设题中半圆形半径为 r（m） ，矩形 ABCD 的面积为 S（m 2） ，内圈周长为 c（m） （1 ）由题意知： ，且rx，即 ，240x20于是 （m 2）202()xrSrxr 当且仅当 （m）时，等号成立10xr答：当 x 100（m）时，矩形 ABCD 的面积最大 （6 分)（2 ）由题意知： ，于是 ，25r250xr从而 （8 分)0cxr因为
9、 ，所以 ，即 ，80 258r 2160250rr解得 ，所以 ， （10 分)259 90故 2180r因为 ， （12 分)2250116 0，则当 时， ； 时， ，此时 有极小1xa()0x1a()0fx()fx值 1fa综上，a 的取值范围是 (4 分)(0，（2）设 P(x0，y 0) 是经过原点的切线与函数 图象的切点，(fx则切线方程为 ， （6 分） 0 0201ln)aax因为切线过点(0，0)，于是 ，即 ，01lx0021lnaxx因为 ，所以 ，0a002lnxa设 ，则 ，得 ，(8 分)()lngx()1lgx1xx （0，1） 1 （ 1， ）()g+ 0 -
10、g(x) 极大值 1 故当 ，即 时，不存在切线； 21a02a当 或 ，即 或 a0 时，有且仅有一条切线，当 ，即 时，存在两条切线， （12 分）201a2下证：对任意的 ， 在(0，1) 内一定有一解，其(01)m， lnxm中 2ma证明 在(0，1) 内有一解，1lnx证明 在 内有一解ltm()t，令 ，()1lnhtt则 h(1) m 1 0，(2)l2nn(1)nm(1)2nmn，这是关于 n 的二次函数，所以当 n 充分大时，一定取得正值，由介值定理知， 在 内有唯一解，即证 （16 分） ()ht1)，20 （本题满分 16 分）已知数列 的通项公式 ， 设 ， ， （其
11、中na2(1)na*N1na2tna1 ，2nt）成等差数列*N（1 ）若 3t当 ， ， 为连续正整数时，求 的值；1n23 1n当 时，求证： 为定值；32n（2 ）求 的最大值t解：（1）依题意， ， ， 成等差数列，即 ，1na112na1122nna从而 ，12()()()n 当 为奇数时，解得 ，不存在这样的正整数 ；114n 1当 为偶数时，解得 ，所以 (3 分)n1212依题意， ， ， 成等差数列，即 ，1a2n3 231nna从而 ，32()()nn当 均为奇数时， ，左边为偶数，故矛盾；n3 321当 均为偶数时， ，左边为偶数，故矛盾；2 322n当 为偶数， 奇数时
12、， ，左边为偶数，故矛盾；33215当 为奇数， 偶数时， ，即 (8 分)2n320n321n（2）设 ， ， （ ）成等差数列，则 ，sartsrtrsta即 ，(1)()(1)stt整理得， ，122strstr若 ，则 ，因为 ，所以 只能为tr()3()rs (1)3()sr2 或 4，所以 只能为 1 或 2；(12 分)s若 ，则 ，tr 12143210strsrr ()1st，2(1)r4故矛盾，综上，只能 ， ， 成等差数列或 ， ， 成等差数列，其中1ar12ar1为奇数，r从而 的最大值为 3(16 分)t试题（附加题）21 【 选做题 】本题包括 A、B、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A （几何证明选讲）如图，已知ABC 的内角 A 的平分线交 BC 于点 D，交其外接圆于点 E求证：AB AC AD AE证明：连结 EC，易得B E， （2 分）由题意，BAD CAE，所以ABDAEC， （6 分）从而 ，ADEC所以 AB AC AD AE （10 分）B （矩阵与变换）求矩阵 的特征值和特征向量M01解：矩阵 的特征多项式为 ， （2 分）0()(1)f令 ，解得 的特征值 ， （4 分）()0f12AB CDE(第 21A 题)
