1、1教 案任课教师：杨保华课程名称：高等数学授课班级：07 机械-2授课章节名称：第 3 章 中值定理与导数的应用第 1 节 中值定理 第 2 节 洛必达法则学时：2教学目的：1、正确理解拉格朗日中值定理的内容及其几何意义2、理解洛必达法则，掌握用洛必达法则求 型和 型以及 型未定式的0,0极限的方法，了解 型极限的求法。0,1教学重点：洛必达法则教学难点：理解洛必达法则失效的情况, 型的极限的求法。,0教学方法：讲解；启发；举例教学手段：传统式教案实施效果追记：学生缺乏洛必达法则求极限和第一章中的各种方法的综合运用教学效果： 良好2第 3.章 中值定理与导数的应用第 1 节 中值定理讲授新内容
2、一、中值定理拉格朗日中值定理 若函数 ( )满足：fx(1)在闭区间 ,b上连续；a(2) 在开区间( ,b)内可导；则在( ,b)内至少存在一点 ( 0 时，在区间 0, 上考察函数 。显然它在0, 上满足拉格ttfarcn)( x朗日中值定理的条件。因此有- 0=arctnxrta),0(12x),(又 得 。所以当 0 时， 。,12rt rctan第 2 节 洛必达法则在求函数 的极限 时,常会遇到两个函数 都是无穷小或)(xgf)(lim(0xgfx)(,xgf都是无穷大,这种极限可能存在也可能不存在,通常称这种比值的极限为不定式。当 都是无穷小时,称它为 型不定式；当 都是无穷大时
3、，称它)(xf )(,xf为 型不定式，例如重要极限 就是 型未定式；而 是 型未定式，xsinl0xlnim这类极限不能用“商的极限等于极限的商”的运算法则来求.洛必达法则就是求这种未定式的一个重要且有效的方法。41、 型和 型不定式0定理： 设函数 满足:)(,xgf(1) ；0lim,)(li00 xfx(2)在点 的某去心邻域内, 与 存在且 ；)(xf0)(xg(3) 存在或为无穷大，则极限 存在或为无穷大，且)(li0xgfx )(lim0fx)(li)(li00gffxx用以上定理求 型未定式的值的方法称为洛必达(LHospiatl) 法则。对于 时 为 型未定式，以及 或 时
4、为 型未定x)(xgf00x)(xgf式有类似的定理。定理 设函数 满足：)(,f(1) );(lim,)(lilim,)(li00 xgxfxgxf(2)在点 的某去心邻域内(当 时), 存在,且X)f ;0)(xg(3) 存在或为无穷大,)(li)(li0xgffx则 。)(lim)(li)( 00ffxx例 3 求 为常量,tanli0x )0解 这是 型未定式，用洛必达法则，得5.xxx 200seclimtanli例 4 求 .30silimx解 这是 型未定式，用洛必达法则，得.2030cos1limsnlixxx等式右端仍为 型未定式,再使用洛必达法则,有0.61sinl3cli
5、s1lim02030 xxxx例 5 求 .ax)(li0解 axxax 1)(li)1(li00例 6 求 23lim1x解 236lim13lili 21231 xxxx注意 在用洛必达法则时,必须检查所求极限是否是 型(或 型)未定式。特0别是连续使用洛必达法则时必须每一次都做检查。如例 2 中所求的极限都是 型0未定式，直到最后出现重要极限 .例 4 中最后出现 ,已不再是1sinlm0x26lim1x型未定式，不能再应用洛必达法则，否则会导致错误结果。0例 7 求 .xx1arctn2lim解 这是 时的 型未定式。由洛必达法则，得061lim1li1arctn2lim22xxxxx
6、x例 8 求 ).0(lnix解 这是 型未定式，用洛必达法则，得.01limlinlim1nxnxx例 9 求 为整数),0(lixne解 .0!li)1(lilili 21 xnxxnxnxnx ee显然当 不是整数时，结论仍成立。当 时,三个函数 , , 都是无穷大量，例 6 说明随着 的增大，lnx较 增大得要慢.例 7 说明随着 的增大, 较 增大得要慢。也就是说 增xln nxe xe大的最快， 次之， 增大最慢。nxl例 10 求 .xlsim0解 .1cosinlm1icollni000 xxx2、其他类型的未定式除上述 , 型未定式以外,还有其他类型的未定式,如 , , ,
7、, 等。0010求这些未定式的值，通常是将其转化成为 或 型未定式，用洛必达法则来计算.0下面以例题说明。例 11 求 )0(lnim0xx解 这是 型未定式,若改写成7= 则等式右端为 型未定式，用洛必达法则，得xnxlim0n1li0 = =xnxli0n1li0 .0limi010nxxxn例 12 求 .lim0xxe解 这是 型未定式,将其改写成= ,等式右端为 型未定式,用洛必达法则,得1li0xxe)1(li0xxe0,21lim2lilim)(li 0000 xxexxxxx所以 .211li0xxe例 13 求 .x1li解 这是 型未定式,设 ,取对数得xy1所以 或 。x
8、y1lnxey1lnxeln而 是 型未定式，用洛必达法则，得xlim0，1li1nli1xx=x1li .1lilnimln11eexx例 14 求 .xxsin0l8解 这是 型未定式。因为0,而 ,等式右端是 型未定式,用洛必达法则,得xxelnsisinxxcslnimlsi00tailsinco1lmcsli 0200 xxx所以 =xsin0l 1tal0eex例 15 求 .xsin)(cot解 这是 型未定式。因为 ,0xxecotlnsisin)(cot而 0sinlmts)(alimslnicotlnsilm202000 xx xxx所以 = .xsi)(tli1e由以上各
9、例看出，洛必达法则是求未定式的值的一种简便有效的法则，应用这一法则时必须注意以下几点：(1) 必须将未定式化为 或 型才能使用洛必达法则.在连续使用洛必达法则时必0须每一次都检查所求极限是否是 或 型未定式。0(2) 在用洛必达法则求未定式的值时,要注意将所求极限尽量简化.例如,适当应用无穷小的替换可以简化运算.例 17 求 .xxsintalm20解 求这个 型未定式的值要连续使用洛必达法则,此时分母的高阶导数较繁,设法简化计算过程.由于 时, 与 是等价无穷小,用等价无穷小替换得0xsin= ,而xxsintal2030tal= .30tlmx 31)tan(lim31tali1secl
10、202020 xxxx.sintali20x9(3) 在应用洛必达法则时，要注意定理中的条件(3)， 存在或为无穷大时,)(limxgf才有 .若 不存在也不为 时,不能断言 不存)(lim)(lixgfxf)(lixf)(lixgf在.例 18 求 .xxsin1l20解 当 时, , 为有界函数,所以 ,故知，此极限是02x1sin01sinlm20xx型未定式.用洛必达法则,得0= .xxsinlm20xcos1inl0因为 不存在,等式右端的极限不存在也不是无穷大量.因此不能应用洛必达xx1coslim0法则求该极限。若将所求极限变形为= ,因为 =1, ，由极限运算法则知xxsinl20xsil01inxxsinlm001sinl0x= .xil20xil0il0x故所求极限是存在的.小结：1.本节我们学习了拉格朗日中值定理，它是我们后面研究函数的性态的理论基础，要求记忆内容，理解其几何意义。2.洛必达法则是处理不定式极限的有效方法，它是第一章中求极限方法的一个补充，大家要通过练习掌握其规律。作业：P127 1、3、4 P133 2
