1、 1 / 141.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 )0,3((1)求双曲 线 C 的方程;(2)若直线 :kxyl与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 2O(其中 O 为原点). 求 k 的取值范围 .解:()设双曲线方程为 12bya ).0,(ba由已知得 .,32ca得再 由故双曲线 C 的方程为 .12yx()将 得代 入 32ky .0926)3(2kxk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 .)1(3)1()6(,01222k即 .1322k且 设 ,),(BAyx,则 ,22,39,622 BABABA yxOkxx 得由而 )()1()
2、( BB xkkxy.37216319)(22 kk于是 解 此 不 等 式 得即 ,09,722.31k由、得 .12k故 k 的取值范围为 ).,3(),(2.已知椭圆 C: 2ax by1(ab0)的左右焦点为 F1、F 2,离心率为 e. 直线l:yexa 与 x 轴y 轴分别交于点 A、B,M 是直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称2 / 14点,设 AM B.()证明:1e 2;()确定 的值,使得PF 1F2 是等腰三角形.来源:Zxxk.Com()证法一:因为 A、B 分别是直线 l: aexy与 x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分
3、别是222.,1).,0( bcbbyaxeea这 里得由.所以点 M 的坐标是( c,). 由 ).,(),(2aeaABM得即 22 1eabec解 得证法二:因为 A、B 分别是直线 l: axy与 x 轴、y 轴的交点, 所以 A、B 的坐标分别是).,0(ae设 M 的坐标是 0(,)0,xye由 得所以 .)1(0ay因为点 M 在椭圆上,所以 ,120byax即 .)(,1)()1( 2222 ebae 所 以来源 :学科网 ZXXK,0(4 解得 .122ee即()解法一:因为 PF1l ,所以PF 1F2=90+BAF 1 为钝角,要使PF 1F2 为等腰三角形,必有|PF1
4、|=|F1F2|,即 .|cP设点 F1 到 l 的距离为 d,由 ,1|10)(| 22ceae3 / 14得 .12e 所以 .321,3e于 是即当 时PF 1F2为等腰三角形.解法二:因为 PF1l,所以 PF1F2=90+BAF 1 为钝角,要使PF 1F2 为等腰三角形,必有|PF 1|=|F1F 2|,设点 P 的坐标是 ),(0yx,则00.2yxcea,2023,1().excay解 得由|PF 1|=|F1F2|得 ,41)()3( 2222 cece两边同时除以 4a2,化简得 .)(2 从而 .312e于是 2 奎 屯王 新 敞新 疆 即当 时,PF 1F2 为等腰三角
5、形.来源:Z,xx,k.Com3.设 Ryx,, ji、为直角坐标平面内 x轴、 y轴正方向上的单位向量,若jyixbia )3( ,)3(,且 4ba.()求点 yP的轨迹 C 的方程;来源:学#科#网()若 A、B 为轨迹 C 上 的两点,满足 MBA,其中 M(0, 3) ,求线段 AB 的长. 来源:学+科+网启思4.已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点,O与 )1,3(a共线 .()求椭 圆的离心率;()设 M 为椭圆上任意一点,且 ),( ROBAM,证明 2为定值.解:本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几
6、何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分 12 分.4 / 14(1)解:设椭圆方程为 )0,(12cFbayx则直线 AB 的方程为 c,代入 12yx,化简得02)( 222baxaba.令 A( 1,yx) ,B 2,() ,则 .,22121 bacxx由 OBAyxO),3(), 与 共线,得0)()(32121y又 cxyc21, .3,xcx即 22ba,所以 6.322 abcba,故离心率 .6ce(II)证明:(1)知 23ba,所以椭圆 12byax可化为 .322byx设 ),(yxOM,由已知得 ),(),(),(21yx.21,在椭圆上,
7、.3)(3221byx即 .)(2)3()3( 21212 byyxyx 由(1)知 .,221 cbac变式新题型 3 抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,准线 l 与 x 轴相交于点 A(1,0),过点 A 的直线与抛物线相交于 P、Q 两点.来源:学科网(1)求抛物线的方程;(2)若 FP Q=0,求直线 PQ 的方程;来源:学科网(3)设 A= (1) ,点 P 关于 x 轴的对称点为 M,证明: F=- Q.来源:Zxxk.Com.6.已知在平面直角坐标系 中,向量 ,且 .xoy 32),10(的 面 积 为OPj 3,OPtMOPj5 / 14(I)设 的取值范围;43,tOF
8、P求 向 量 与 的 夹 角(II)设以原点 O 为中心,对称轴在坐标轴上,以 F 为右焦点的椭圆经过点 M,且取最小值时,求椭圆的方程.|,)1(,| 2ctcF当7.已知 ,点 在 轴上,点 在 轴的正半轴,点 在直线 上,且满足, ,(0,2)MAxByPABAPB.AP()当点 在 轴上移动时,求动点 的轨迹 方程;PC()过 的直线 与轨迹 交于 、 两点,又过 、 作轨迹 的切线 、 ,当 ,求直线(2,0)lEFEFC1l212l的方程.l8. 已知点 C 为圆 的圆心,点 A(1,0) ,P 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 上,且8)1(2yx.,0AMPMQ()当点
9、P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程;()若直线 与()中所求点 Q2ky的轨迹交于不同两点 F,H, O 是坐标原点,且 ,求FOH 的面积4332O已知椭圆 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 、 、 三点E2,0A,B31,2C()求椭圆 的方程;()若直线 : ( )与椭圆 交于 、 两点,证明直线 与直线 的交点在l1ykx0EMNAMBN直线 上4x10如图,过抛物线 x2=4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m0)作直线与抛物线交于 A、B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点。()设点 P 分有向线段 所成的比为 ,证明AB);Q(P6 / 14()设直线 AB
10、的方程是 x2y+12=0,过 A、B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求圆 C 的方程。10. 已知平面上一定点 和一定直线 为该平面上一动点,作 垂足为 ,(1,0)C:4.lx,PQl.0)2()2(PQCP(1) 问点在什么曲线上?并求出该曲线方程;(2) 点是坐标原点, 两点在点的轨迹上,若 求 的取值范围AB、 1OABC( ) , 11. 如图,已知 E、F 为平面上的两个定点 , ,且 , 6|EF0|GEGH2P, (G 为动点,P 是 HP 和 GF 的交点)0E(1)建立适当的平面直角坐标系求出点 的轨迹方程;P(2)若点 的轨迹上存在两个不同的点 、 ,
11、且线段 的中垂线与ABAF(或 的延长线)相交于一点 ,则 ( 为 的中点) C|O5912已知动圆过定点 ,且与直线 相切.1,01x(1) 求动圆的圆心轨迹 的方程;C(2) 是否存在直线 ,使 过点(0,1) ,并与轨迹 交于 两点,且满足 ?若存在,求出l C,PQ0OPQ直线 的方程;若不存在,说明理由.l13已知 若动点 P 满足)0,1(,4NM|6NPM(1)求动点 P 的轨迹方 C 的方程;(2)设 Q 是曲线 C 上任意一点,求 Q 到直线 的距离的最小值.012:yxlG FPH E7 / 1419如图,直角梯形 ABCD 中, ,ADBC,AB=2,AD= ,BC=90
12、DAB231椭圆 F 以 A、B 为焦点且过点 D, ()建立适当的直角坐标系,求椭圆的方程;()若点 E 满足 ,是否存在斜率ABC21两点,且与的 直 线 lk0M、F交 于椭 圆 N,若存在,求 K 的取值范围;若不存在,说明理由。|NM解(1)已知双曲线实半轴 a1=4,虚半轴 b1=2 ,半焦距 c1= ,5620椭圆的长半轴 a2=c1=6,椭圆的半焦距 c2=a1=4,椭圆的短半轴 = ,b4所求的椭圆方程为 36x02y(2)由已知 , ,设点 P 的坐标为 ,则)(A4(F),(yx由已知得),Pyx221360()4则 ,解之得 , 892x623x或由于 y0,所以只能取
13、 ,于是 ,所以点 P 的坐标为 9 分x5y 325,(3)直线 ,设点 M 是 ,则点 M 到直线 AP 的距离是 ,于是063:yAP)0,(m6m, 62m又点 M 在椭圆的长轴上,即 62当 时,椭圆上的点到 的距离)0,2(2222549()4()15xdxyx又 当 时,d 取最小值 692解:(1)由 ,34sin|cos,in3|,sin|213 tFPOFPOFP 由得得 3 分.4tan夹角 的取值范围是( ),03tan13 3,4CBDA8 / 146 分(2) ).0,(),(),(00 cOFycxFPyx则设2000, 31314|232OFP txcSyc 8
14、 分10 分22204| ()26xc当且仅当 )32,(,|,3 OPOP此 时取 最 小 值时即 ),2(10),2(OM或 12 分3椭圆长轴12,48)03()2()0()2( 22 baa或 217,711 b故所求椭圆方程为 .或 14 分26yx2792yx解: () 0,则 x1x2y 1y20, 1 分OP OQ 又 P、Q 在抛物线上,y122px 1,y 222px 2, y 1y20, y1y2 4p2 ,y122py222p |y1y2|4p 2, 3 分又|y 1y2|4,4p 24,p=1 4 分()设 E(a,0) ,直线 PQ 方程为 xmya , 联立方程组
15、 , 5 分x my ay2 2px)消去 x 得 y22pmy2pa 0 , 6 分 y1y22pa , 7 分设 F(b,0),R(x 3,y3),同理可知:y1y32pb , 8 分由 、可得 , 9 分y3y2 ba若 3 ,设 T(c,0),则有TR TQ 9 / 14(x3c,y 30)3(x 2c,y 20), y3 3y2 即 3, 10 分y3y2将 代入 ,得 b3a 11 分又由()知, 0 ,OP OQ y1y24p 2,代入,得2pa4 p 2 a 2p, 13 分 b 6p,故,在 x 轴上,存在异于 E 的一点 F(6p,0),使得 3 14 分TR TQ 注:若
16、设直线 PQ 的方程为 ykxb,不影响解答结果()解:设 则P(,)x.2 分(Ay(,)By由 得 , .4 分B2Ax又 即 , 6 分(,)AM(,)Py(2,)MAx(,)Pxy由 得 .8 分020x()设 ,1(,)Ey2(,)Fy因为 ,故两切线的斜率分别为 、 10 分x1x2由方程组 得 .122()yk240k12xk124xk当 时, , ,所以 12l12x8所以,直线 的方程是 ()yx解:() 轴, ,由椭圆的定义得: ,-2 分2MFx21|F1|2MFa , ,-4 分1|()4c2()4ac又 得 32e2223,0a2 ,-6 分214bac10 / 14
17、所求椭圆 C 的方程为 -7 分214xy()由()知点 A(2,0),点 B 为(0,1) ,设点 P 的坐标为 (,)xy则 , ,(2,)PAxy(2)A由 4 得 ,Bm 4xym点 P 的轨迹方程为 -9 分y设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 ,则由轴对称的性质可得: ,0(,)Bxy0001,2yyxmx解得: ,-11 分00423,55mxy点 在椭圆上, ,整理得 解得 或 (,)y2243()()45m230m132点 P 的轨迹方程为 或 ,-13 分21xyx经检验 和 都符合题设,yx3y满足条件的点 P 的轨迹方程为 或 -x32yx解()依题意,可设直线 AB 的方程为 ,代入抛物线方程 得mkyx42.042mkx设 A、B 两点的坐标分别是(x 1,y1) 、(x 2,y2),则 x1、x 2 是方程 的两根。所以 .21由点 P(0,m)分有向线段 所成的比为 ,AB得 , 即12x.21x又点 Q 是点 P 关于原点的以称点,故点 Q 的坐标是(0,-m),从而 ).,0(mQP,()(21yxmyxBA= ).1,2()(21yQP