1、第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标 0,xy（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：
2、因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组） ，运用方程思想求解。二、典型例题：例 1：已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 的直线 与 相2:10xyCab3FlC交于 两点，当 的斜率为 时，坐标原点 到 的距离为 。 ,ABl Ol2（1）求 的值 ,ab（2） 上是否存在点 ，使得当 绕 旋转到某一位置时，有 成立？若CPlFPOAB存在，求出所有的 的坐标
3、和 的方程，若不存在，说明理由解：（1） 3:3:21ceabc第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何则 ，依题意可得： ，当 的斜率为 时3,2acb,0Fcl1: 0lyxyc解得： 2Olcd1椭圆方程为： 3,ab23xy（2）设 ，0,Pxy12,AyB当 斜率存在时，设 l:lkxO012y联立直线与椭圆方程： 消去 可得： ，整理可得：236kxy22316xk22360kxk12312122264kkykx因为 在椭圆上2264,3kPP22 63kk 2 24 2786436kk22kk当 时， ， :1lyx2,P当 时， ，2k:2l3,第九章 圆锥曲线中的存在性问题
4、解析几何当斜率不存在时，可知 ， ，则 不在椭圆上:1lx2323,1AB2,0P综上所述： ， 或 ，:2ly,P:1lyx3,例 2：过椭圆 的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 为其2:10xab2F,AB1F左焦点，已知 的周长为 8，椭圆的离心率为1AFB3（1）求椭圆 的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，,PQ且 ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由OPQ解：（1）由 的周长可得：1AFB482a32cea21bc椭圆 :14xy（2）假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内22xyr01r若直线 斜率存在
5、，设 ，PQ:Pkm12,PxyQ与圆相切 22Oldrk即0OP120xy联立方程： 24ykxm24840kmx212128,xxkk2212111ymxx第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何2 212121xykxkmx22 2484km2541k对任意的 均成立20mk,m将 代入可得：r225140rk22541k存在符合条件的圆，其方程为： 25xy当 斜率不存在时，可知切线 为PQPQ若 ，则2:5x22,55符合题意0O:x若 ，同理可得也符合条件2:5PQx综上所述，圆的方程为： 245xy例 3：已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左，右焦点分别为210ab,312和1,0
6、Fc2,（1）求椭圆 的方程C（2）设椭圆 与 轴负半轴交点为 ，过点 作斜率为 的直线 ，交椭xA4,0M0kl圆 于 两点（ 在 之间） ， 为 中点，并设直线 的斜率为,BD,NBDON1k 证明： 为定值1k 是否存在实数 ，使得 ？如果存在，求直线 的方程；如果不存在，请说明1FAl理由第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何解：（1）依题意可知： 可得：12cea:2:31bc椭圆方程为： ，代入 可得：243xyc0,椭圆方程为：21（2） 证明：设 ，线段 的中点12,BxyDB0,Nxy设直线 的方程为： ，联立方程：l 4k化为：2431ykx22236410xk由 解得：
7、 且024k221213,3kxk212063x024y104ykxk13k 假设存在实数 ，使得 ，则1FNAD1FNADk1 20 2436FNykkx22AD1 2441FNAkxk即 22222688xkxk因为 在椭圆上，所以 ，矛盾D2,x所以不存在符合条件的直线 l例 4：设 为椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，直线F2:10yEab31,2PE第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何与以原点为圆心，以椭圆 的长半轴长为半径的圆相切0:3410lxyE（1）求椭圆 的方程E（2）过点 的直线 与椭圆相交于 两点，过点 且平行于 的直线与椭圆交于另Fl,ABPAB一点 ，问是否存在直
8、线 ，使得四边形 的对角线互相平分？若存在，求出 的方QQl程；若不存在，说明理由解：（1） 与圆相切0l25Oldr2a将 代入椭圆方程 可得：31,P214xyb3椭圆方程为：23（2）由椭圆方程可得： 1,0F设直线 ，则:lykx3:12PQykx联立直线 与椭圆方程：消去 可得：2134xyy2243840kxk22221811k221 243kABxk同理：联立直线 与椭圆方程：PQ消去 可得：23134ykxy22243814130kxkxk222222814k 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何222141433kPQkk因为四边形 的对角线互相平分AB四边形 为平行四边
9、形PQ222141433kkk解得： 存在直线 时，四边形 的对角线互相平分:40lxyPABQ例 5：椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ， 为椭圆2:1Cab12,FAP上任意一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中112PF,3c2cab（1）求椭圆 的离心率 的取值范围e（2）设双曲线 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点， 是双曲线 在第一象限上任2C1 B2C意一点，当 取得最小值时，试问是否存在常数 ，使得 恒成e 011AFB立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设 12,0,PxyFc2Fcxy21xyc由 可得： 代入可得：2ab22bxa2222221 1cPF
10、xycxbca,a212maxPFb第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何22222334cacbca2114ee（2）当 时，可得：2,3acb双曲线方程为 ， ，设 ，213xyc1,0,AFc0,Bxy0,y当 轴时，AB00,c因为1tan3Fc14B12A12所以 ，下面证明 对任意 点均使得 成立211BF考虑 10 01tan,tanAByyFkAkxcxc0011 222 00tanta2 yxcc 由双曲线方程 ，可得：23xyc2203yx 222200000042ccxcx01 100tan tanyxyBFABAFcx112结论得证时， 恒成立11BAF例 6：如图，
11、椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线 与2:0xyEab20,1Pl第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为,ABlxlE2（1）求椭圆 的方程E（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得对于任意直线 ，xOyPQl恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由QAPBQ解：（1） 2cea:2:1abc椭圆方程为21xyb由直线 被椭圆 截得的线段长为 及椭圆的对称性可得：lE2点 在椭圆上2,12bb24a椭圆方程为14xy（2）当 与 轴平行时，由对称性可得：l PAB即1QAPBAQB在 的中垂线
12、上，即 位于 轴上，设y0,y当 与 轴垂直时，则lx0,2,21,1PAB002,2QAyBy可解得 或02yQ010不重合 ,002下面判断 能否对任意直线均成立,Q第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何若直线 的斜率存在，设 ，l:1lykx12,AyBx联立方程可得：22440xk由 可想到角平分线公式，即只需证明 平分QAPBQPBA只需证明0AQBAQBkk12,xy12,QAQBykkx2112212121AByxyxyx因为 在直线 上， 代入可得：12,xyk12kyx2112112QABkxxk联立方程可得：22440ykkx12122,x2401QABkkk成立0AB平分 由角平分线公式可得：PQAPB例 7：椭圆 的上顶点为 ， 是 上的一点，以 为2:10xyCab4,3bCAP直径的圆经过椭圆 的右焦点 F（1）求椭圆 的方程
