1、习题 33-1原长为 的弹簧，上端固定，下端挂一质量为 的物体，当物体静m5.0 kg1.0止时，弹簧长为 现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手6时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。 （g 取 9.8）解：振动方程： ，在本题中， ，所以 ；cos()xAtxm9.8 。9.801k取竖直向下为 x 正向，弹簧伸长为 0.1m 时为物体的平衡位置，所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1m， 当 t=0 时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为 。所以： 即： 。.cos98t（ ） 0.1cos(98)xt3-2有一单摆，摆长 ，小球质量 ， 时，小球正好经过0.1
2、l g处，并以角速度 向平衡位置运动。设小球的运动可rad06.2rad/s看作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。 （g 取 9.8）解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。cos()xAt（1）角频率： ，9.831/radsl频率： ，10.52gHz周期： ；29.8lTs（2）振动方程可表示为： ，co3.1At（ ）3.1sin.3At（ ）根据初始条件， 时： ，0s 0(12sin34.A、可解得： ，2008.7132m、所以得到振动方程： 。2.co.tm（ ）3-3一质点沿 轴作简谐振动，振幅为 ，周期为 。当 时
3、，位移为x s0t，且向 轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2） 时，质点c6 5.的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于 ，且向 轴负c6xx方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ， 2T又t=0 时， ， ，由旋转矢量图，可知：06xc0v3故振动方程为： ；.12os3t、（2）将 t=0.5 s 代入得：，0.1co0.c.10436x m（ ），in2os8/vt s（ ），2 2.cs.c.3a、方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向；（3）由题知，某时刻质点位于 ，6mA且向 轴负方向运动，如图示，质点从 位置回到
4、xP平衡位置 处需要走 ，建立比例式： ，Q322tT有： 。56ts3-4两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在 处，且向左运动时，另一个质点 2 在 处，且向右运动。2/1Ax /Ax求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知：当质点 1 在 处，且向左运动时，/x相位为 ，3而质点 2 在 处，且向右运动，2/A相位为 。4所以它们的相位差为 。3-5当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物PxAQ体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：由 ， ，有： ，21PEkx21kmv21cos()PEkAt，2sin()sin()kmAtt（
5、1）当 时，由 ，2xco()xt有： ， ，1cos()t 3sin2 ， ；4PE3k（2）当 时，有：12Pk22cos()sin()tt ， 。cos()t0.7xA3-6两个同方向的简谐振动曲线( 如图所示) （1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。由图可知，两个振动同频率，且初相： ， 初相： ，1A12A2表明两者处于反相状态，（反相 ， ）1()k01、 ，合成振动的振幅： ；122A合成振动的相位： ；2合成振动的方程： 。）（）（ cos1tTAx3-7两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为 ，与第一个振cm20动的位相差为
6、。若第一个振动的振幅为 。则（1）第二个振动的振幅6c30为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：如图，可利用余弦定理：由图知 =0.01 mcos2121AAA =0.1 m ，再利用正弦定理： ，有：02sini3， 。2sin1说明 A 与 A 间夹角为 /2，即两振动的位相差为 /2 。3-8. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1） ；（2） ；4cos86xty4cos865xty（3） 。试判别质点运动的轨迹。4cos8623xty解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。对于 ， 的叠加，可推得：cos()xxAt4cos()yyt2 2inxyA（1）
7、将 ， 代入有： ，6xy22cos16in3则方程化为： ，轨迹为一般的椭圆；21x（2）将 ， 代入有：x5y2 2ixy则方程化为： ，即 ，轨迹为一直线；200（3）将 ， 代入有：6x23y2 2cos16inxy则方程化为： ，轨迹为圆心在原点，半径为 4m 的圆。243-9沿一平面简谐波的波线上，有相距 的两质点 与 ， 点振动相位.0AB比 点落后 ，已知振动周期为 ，求波长和波速。A62s解：根据题意，对于 A、B 两点， ，x2612，而相位和波长之间满足关系： ，代入数据，可得：波长 =24m。又T=2s，所以波速 。1/umsT3-10已知一平面波沿 轴正向传播，距坐标
8、原点 为 处 点的振动式为xO1xP，波速为 ，求：)cos(tAyu（1）平面波的波动式；（2）若波沿 轴负向传播，波动式又如何?解：（1）设平面波的波动式为 ，则 点的振动式为：0cosxyAtu、，与题设 点的振动式 比较，10cosPxyAtu、Pcos()PyAt有： ，平面波的波动式为： ；0 1xtu（2）若波沿 轴负向传播，同理，设平面波的波动式为：x，则 点的振动式为：0cosytu、，与题设 点的振动式 比较，1PAPcos()PyAt有： ，平面波的波动式为： 。0x 1xu3-11一平面简谐波在空间传播，如图所示，已知 点的振动规律为，试写出：cos(2)yAt（1）该
9、平面简谐波的表达式；（2） 点的振动表达式（ 点位于 点右方 处） 。BBAd解：（1）仿照上题的思路，根据题意，设以 点为O原点平面简谐波的表达式为：，则 点的振动式：0cosxyAtu、2l题设 点的振动式 比较，有： ，cos(2)yAt02lu该平面简谐波的表达式为： ）（ xlt（2）B 点的振动表达式可直接将坐标 ，代入波动方程：xd2cos2cos ）（）（ udtAullty3-12已知一沿 正方向传播的平面余弦波， 时的波形如图所示，且周期x31t为 。Ts2（1）写出 点的振动表达式；O（2）写出该波的波动表达式；（3）写出 点的振动表达式；A（4）写出 点离 点的距离。解
10、：由图可知： ， ，而 ，则：0.1m.42Ts，/./uTs， ，波动方程为：225k00.1co(5)ytx点的振动方程可写成：O.cos()Oyt由图形可知： 时： ，有：s31t00.5.s()3考虑到此时 ， ， （舍去）Odt3那么：（1） 点的振动表达式： ；0.1cos()3Oyt（2）波动方程为： ；0.1cos(5)3ytx（3）设 点的振动表达式为：A.AA由图形可知： 时： ，有：s3t ()0考虑到此时 ， （或 ）0Adyt56A76AA 点的振动表达式： ，或 ；.1cos()t 70.1cos()6yt（4）将 A 点的坐标代入波动方程，可得到 A 的振动方程为
11、：，与（3）求得的 A 点的振动表达式比较，有：0.1cos(5)Aytx，所以： 。6t mx23.073-13一平面简谐波以速度 沿 轴负方向传/s8.0u播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：（1）原点的振动表达式；（2）波动表达式；（3）同一时刻相距 的两点之间的位相差。m1解：这是一个 振动 图像！由图可知 A=0.5cm，设原点处的振动方程为： 。30510cos()Oyt（1）当 时， ，考虑到： ，有：0t302.5Otytd，03当 时， ，考虑到： ，有： ， ，1t1Oty10Otdy3256原点的振动表达式： ；35cos()6（2）沿 轴负方向传播，设波动表达式：x
12、 350cos()63ytkx而 ， ；512460.85ku3241t（3）位相差： 。2523.74xkrad3-14一正弦形式空气波沿直径为 的圆柱形管行进，波的平均强度为cm1，频率为 ，波速为 。问波中的平均能量密39.01/()JsmHz30/s0度和最大能量密度各是多少？每两个相邻同相面间的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均强度为： ，由 有：39.I()JIwu353.1/0IwJu；5max26/（2）由 ，WV 2214uwd。53 710/(0.).60JmJ 3-15一弹性波在媒质中传播的速度 ，振幅 ，频率31/us41.0Am。若该媒质的密度为 ，求：（1）
13、该波的平均能流密度；3Hz8kg（2）1 分钟内垂直通过面积 的总能量。240.S解：（1）由： ，有：21IuA；3432081I（ ） （ ） 52.81/W（2）1 分钟为 60 秒，通过面积 的总能量为：4m0.S。WSt5431.6.79J3-16设 与 为两个相干波源，相距 波长， 比 的位相超前 。若两12 11S2波在在 、 连线方向上的强度相同且不随距离变化，问 、 连线上在12S外侧各点的合成波的强度如何？又在 外侧各点的强度如何？1S2解：（1）如图， 、 连线上在 外侧，1S21S ，21()4r两波反相，合成波强度为 0；1r2（2）如图， 、 连线上在 外侧，1S2
14、2S ，21()()04r两波同相，合成波的振幅为 ，A合成波的强度为： 。204II3-17图中所示为声音干涉仪，用以演示声波的干涉。 为声S源， 为声音探测器，如耳或话筒。路径 的长度可以变DBD化，但路径 是固定的。干涉仪内有空气，且知声音强度S在 的第一位置时为极小值 100 单位，而渐增至 距第一位置B为 的第二位置时，有极大值 单位。求：cm65.190（1）声源发出的声波频率；（2）抵达探测器的两波的振幅之比。解：根据驻波的定义，相邻两波节(腹) 间距： ，2x相邻波节与波腹的间距： ，可得： 。4x46.cm（1）声音的速度在空气中约为 340m/s，所以：2340516.uH
15、z（ ） 。（2） ， ， ，依题意有：IA2min()IA2max1()IA，那么 。21()9012023-18蝙蝠在洞穴中飞来飞去，是利用超声脉冲来导航的。假定蝙蝠发出的超声频率为 39000Hz。当它以空气中声速的 的运动速率朝着墙壁飞扑过程中，试40问它自己听到的从墙壁反射回来的脉冲频率是多少？解：根据多普勒效应， (Hz)4103940S0S0 uvuvu、1S2r3-19一声源的频率为 1080Hz，相对于地以 30m/s 的速度向右运动，在其右方有一反射面相对于地以 65m/s 的速率向左运动，设空气中的声速为 331m/s，求：（1）声源在空气中发出声音的波长；（2）每秒钟到
16、达反射面的波数；（3）反射波的波速；（4）反射波的波长。解：（1）在声源前方静止接收器接收到的频率 S01vu声音的波长 (m)2830SS01 .vuu（2）每秒钟到达反射面的波数（等于反射波的频率）为 (Hz)143658S02 vu、（3）波速只取决于媒质的性质，因此反射波的波速仍为 /su（4）反射波的波长为 (m)201432.3-20试计算：一波源振动的频率为 ，以速度 向zsv墙壁接近（如图所示） ，观察者在 点听得拍音的频率为A，求波源移动的速度 ，设声速为 。3Hzsv3/解：根据观察者不动，波源运动，即： ， ，0SuR观察者认为接受到的波数变了： ，其中 ， ， ，分别代入，可得： 。340u23040.5/Sums思考题3-1试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：
