1、1微分算子法微分算子法分类小结1、n 阶微分方程1、二阶微分方程： +p(x) +q(x)y=f(x)2dyxxd 2、n 阶微分方程： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ . +any=f(x)2、微分算子法1、定义符号： ，D 表示求导，如 Dx3=3x2，D ny 表示 y 对 x x=d求导 n 次； 表示积分，如 x= 2 , x 表示 1xn1对 x 积分 n 次，不要常数。2、计算将 n 阶微分方程改写成下式：Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ . +an-1Dy+any=f(x)即 （D n+a1Dn-1+a2Dn-2+a3D
2、n-3+ . +an-1D+an）y=f(x)记 F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ . +an-1D+an规定特解：y *= )(Fxf3、 的性质F(D)1(1)性质一： ekx = ekx (F(k) 不等于 0）F()1(k)1注：若 k 为特征方程的 m 重根时，有2ekx = xm ekx = xm ekx F(D)1(D)F1(k)F1(2)性质二： ekx v(x)= ekx v(x)() )(+(3)性质三：特解形如 sin(ax)和 cos(ax)F(D)1F(D)1i.考察该式（该种形式万能解法）： eiax ()利用性质一和二解出结果，并取相应的
3、虚部和实部 作为原方程的特解注：欧拉公式 e iax= cos(ax)+isin(ax)虚数 i 2 = -1ii.若特解形如 sin(ax)和 cos(ax)，也 ) F(D12 ) F(D12可按以下方法考虑：若 F(-a2) 0，则sin(ax)= sin(ax)(D12 )F(-a12cos(ax)= cos(ax)F(2 )(-2若 F(-a2)= 0 ，则按 i.进行求解，或者设-a 2 为 F(-a2) 的 m 重根，则sin(ax)=xm sin(ax)F(D12 )(DF12)3cos(ax)=xm cos(ax)F(D12 ) (DF12(4)性质四（多项式）：（x p+b
4、1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp）F(D)1= Q(D)（x p+b1xp-1+b2xp-2+.+bp-1x+bp）注：Q(D) 为商式，按 D 的升幂排列，且 D 的最高次幂为 p 。(5)性质五（分解因式）:= = )(FD1xf )(F()12xfD )(F()12xfD(6)性质六:=)(F)12xff+)(F1)(F12xfxf+三、例题练习例 1. +4y=ex 2dyx则(D 2+4)y=ex ,特解 y*= ex= ex= ex (性质一)412+D251例 2、 y (4)+y=2cos(3x） ，则(D 4+1)y= 2cos(3x）4特解 y*= 2cos(
5、3x）= 2 cos(3x）14+D14+D= 2 cos(3x）= cos(3x）(性质三)3-(例 3、 -4 +4y= x2e2x ,则(D 2-4D+4)y= x2e2x 2dyx 特解 y*= x2e2x = e2x x2 4-12 -1）（= e2x x2 = x4e2x （性质二）D1例 4、 -3 +3 - y=ex ,则(D 3-3D2+3D-1)y=exdyx2 d特解 y*= ex =ex 131-）（ 3-）（ =ex 1= x3ex (性质二）3D6例 5、 -y=sinx ,则(D 3-1)y=sinx ,特解 y*= sinx3dx 1-3D考察 eix1-3ei
6、x= eix= eix= eix-3D1-i31i-+21-i= (cosx+isinx)2=- (cosx+sinx)+i (cosx-sinx)121取虚部为特解 y*= (cosx-sinx) (性质一、三)25例 6、 +y=cosx ，则(D 2+1)y=cosx ，特解 y*= cosx2dx 12+D考察 eix 12Deix= eix= eix2+i) i(D-1+i)(D-1+= eix=eix 1i2)-(i)-(i2=- xeix= xsinx-i xcosx2i1取实部为特解 y*= xsinx (性质一、二、三）例 7、 -y=ex ，则(D 4-1)y= ex 4d
7、特解 y*= ex= ex1-4D)1)(D1-(2+= ex )()-(2+= ex = ex 1-D1-D4= ex 1= xex （性质一、二、4-+五）例 8、 +y=x2-x+2 , 则(D 2+1)y= x2-x+2 2dx6特解 y*= (x2-x+2)1D=(1-D2)(x2-x+2)=x2-x (性质四 )例 9、 +2 +2y=x2e-x ,则(D 2+2D+2)y=x2e-xdyx 特解 y*= x2e-x=e-x x2 1)(D1)-(=e-x x2=e-x(1-D2)x2=e-x(x2-2) +（性质二、四）例 10、 +y=xcosx ，则(D 2+1)y=xcosx ，2dx特解 y*= xcosx ，考察 xeix 12D12Dxeix= xeix=eix x12+i)(-+i)i)(D-(+=eix x=eix xi)2(14i21=eix x =eix x4i+D)i(+=(cosx+isinx) x)1i(2= (xcosx+x2sinx)+i (xsinx-x2cosx)414取实部为特解 y*= (xcosx+x2sinx) (性质二、三、四）7
