1、1特征方程法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列 满足 . 其中 .na1nnabcd *0,cadbcnN定义 1:方程 为的特征方程 ,该方程的根称为数列 的特征根,记为 .xbdn,定理 1:若 且 ,则 .1,a1nnaac证明: 2()0,xb dbcdxbcc(),dac1()()()()nn nnnncdabcadcabdba ()()()()nnccccca证毕nac定理 2: 若 且 ,则 .10d121nncada证明: 2,dacb1()()()nnnn ccdabadabcd 2222()(
2、)()()n nnac24()()()nn nnccadcadad 证毕1n例（09江西理22）各项均为正数的数列 , ,且对满足 的正数 都有na12,bmnpq,mnpq2.(1)(1)pqmnaa(1)当 时,求通项 ;(2)略.425bn解:由 得(1)(1)pqmnaa121()()nnaa将 代入上式化简得4,25b12n考虑特征方程 得特征根12xx所以11132nn nnaa所以数列 是以 为首项,公比为 的等比数列na113故 即1()()3nnna例 已知数列 满足 ,求通项 .na*112,nnNna解: 考虑特征方程 得特征根xx11111(2)nn nnnaa所以数列
3、 是以 为首项,公差为 1 的等差数列n1a故 即1na例 已知数列 满足 ，求数列 的通项n1122,()nanan解：其特征方程为 ，化简得 ，解得 ，令x20x12,x11nnac3由 得 ，可得 ，12,a4513c数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列， ，n1a 13nna3(1)na例已知数列 满足 ，求数列 的通项n *112,()46nnNnn解：其特征方程为 ，即 ，解得 ，令6x20x12x12nnca由 得 ，求得 ，12,a341c数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，2n125a13(1)552nna13506a2.已知数列 满足 其中 为常数,且 .n2
4、12nnnaca12c*20,cnN定义 2:方程 为 的特征方程,该方程的根称为数列 的特征根,记为 .21x a12,定理 3:若 ,则 ,其中 常数,且满足 .1212nab12b122b定理 4: 若 ,则 ,其中 常数 ,且满足 .1212()nn12,122()ab设 ，则 ,(11nntasta 11)(nnstat令 （*）qstp（1） 若方程组（*）有两组不同的解 ,)(,21ts则 ,)(11nnatsat,221n由等比数列性质可得 ,121)(nnsatt,212a由上两式消去 可得,21t1n4.nnn stsatsa212121.（2） 若方程组（*）有两组相等的
5、解 ，易证此时 ，则21ts1ts，1212111 )( atasatsat nnnn ,即 是等差数列，211snn1由等差数列性质可知 ，211.satsan所以 nn tsta2121.例已知数列 满足 ，求数列 的通项n *1221,3,()nnaaNnan解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，2x,x12nc由 ，得 ， 12243ac12c1nna例已知数列 满足 ，求数列 的通项n *1221,4()nnaNnan解：其特征方程为 ，解得 ，令 ，4x12x12nac由 ，得 ， 122()14ac1246c132n例:已知数列 满足 ,求通项 .na1221,8,nnaana解:
6、考虑特征方程 得特征根2x则 12()nnb其中 1122024()8nba5常见递推数列通项的求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。类型一： （ 可以求和） 累加法1()naffn 解 决 方 法（1）若 f(n)为常数,即： ,此时数列为等差数列，则 = .dan1 nad)1(1（2）若 f(n)为 n 的函数时，用累加法.方法如下： 由 得：)(1fan时， ，1，)2(21fn )(23fa1所以各式相加得 )1(2
7、)()( fnffn 即： .1)(knfa为了书写方便，也可用横式来写：时， ，2)1(1nfn122)()( aaan 6= .1)(2)()1( afnff 例、在数列 中，已知 =1，当 时，有 ，求数列的通项公式。a1n21nn解析： ()n上述 个等式相加可得：2134152na 1na2na评注：一般情况下，累加法里只有 n-1 个等式相加。例 . （2003 天津文） 已知数列 an满足 ,)2(3,11nan证明 213na证明：由已知得： 故,31nna12211 )()()( aann = .332n 3n例.已知数列 的首项为 1，且 写出数列 的通项公式. na*12
8、()naNna答案： 2例.已知数列 满足 ， ，求此数列的通项公式. na31)2(11nan答案： n2评注：已知 , ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通a1)(1nfn项 .na若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。类型一专项练习题：71、已知 ， （ ） ，求 。 1a1n2nna(12na）2、已知数列 ， =2， = +3 +2，求 。 a3)
9、3、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1an21n， an21na4、已知 中， ，求 。 ,3n2n5、已知 , ,求数列 通项公式. 12a12nna*()Nna13nna6、 已知数列 满足 求通项公式 ？（ ）n1,132,nn2n7、若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式1*11,()nnaN13nna8、 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 3a21n1， ann9、已知数列 满足 ， ，求 。 ann21 31210、数列 中， ， （ 是常数， ） ，且 成公比不为 的等比数列n1nac2， ， ， 13a， ，（I）求 的值； c=2c（II）求 的通项
10、公式 na 2na类型二： （ 可以求积） 累积法1()nnf()f 解 决 方 法（1）当 f(n)为常数，即： （其中 q 是不为 0 的常数） ，此时数列为等比数列， = .an na1nq（2）当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.由 得 时， ，)(1fan2)1(1nfn=f(n)f(n-1) . 1221ann 1)(af例.设 是首项为 1 的正项数列，且 （ =1，2， 3，） ，则它的通项公式是a0121nnn=_.n解：已知等式可化为： )(11nnaa8( ) (n+1) , 即0na*N01na1na时，2n1= = .1221aann 12nn本题是关于 和 的二
11、次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到 与 的更为明显的关系1 na1式，从而求出 .n例.已知 ,求数列 an的通项公式.,11aa解：因为 所以n ,n故 又因为 ,即 ，),(1n 101所以由上式可知 ,所以 ,故由累乘法得 0nanan)1(112232 aannn = )!()( 11 na所以 -1.na!1评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式 转化为,11nan若令 ,则问题进一步转化为 形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.),(1nn nab nb例在数列 中，已知 有 ，( )求数列 的通项公式。a1,1n2a解析： 23211nna4 又 也满足上
12、式； 1a21na*()nN类型二专项练习题：1、 已知 ， ( )，求 。 11nnna2na92、已知数列 满足 ， ，求 。 na321nna123na3、已知 中， ，且 ，求数列 的通项公式.1nn2n414、已知 ， ，求 。 1anna31)1(na63na5、已知 , ,求数列 通项公式. (*N6、已知数列 满足 ，求通项公式 ？ （ ） na1,12nana2n7、已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。35)(1nn， 213!5nna8、已知数列 an，满足 a1=1， (n2)，则 an的通项 1321 )(n aa !2n9、设 an是首项为 1 的正项数列, 且(
13、n + 1)a - na +an+1an = 0 (n = 1, 2, 3, )，求它的通项公式. 21n110、数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，求数列 的通项公式. nanS1nS*)(2Nna2n类型三： )(1fan（1）若 （d 为常数） ，则数列 为“等和数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和an1 n偶数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为 型，通过累加来求出通项;或用逐差法)(1nfan(两式相减)得 ，分奇偶项来分求通项.)1()1nfa例. 数列 满足 , ,求数列 an的通项公式.n0n2解法 2： 21时， ，)1
14、(an两式相减得： .1构成以 ,为首项，以 2 为公差的等差数列;,531a构成以 ,为首项，以 2 为公差的等差数列642 2a102)1(12 kdak.,为 偶 数为 奇 数na评注：结果要还原成 n 的表达式.例.（2005 江西卷）已知数列 an的前 n 项和 Sn满足SnS n2 =3 求数列 an的通项公式.,23,1),3()1S且解：方法一：因为 ),3()2112 nnn所 以以下同例 1，略答案 .,)2(34,1为 偶 数为 奇 数nann类型四 型)(1nfan（1）若 (p 为常数)，则数列 为“等积数列” ，它是一个周期数列，周期为 2，其通项分奇数项和偶pan
15、1 na数项来讨论;（2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得 ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.)1(1nfan例 1. 已知数列 ,求此数列的通项公式.满 足a)(,)21,3*1 Nann注：同上例类似，略.类型五： 待定常数法1(nnaAB其 中 ,为 常 数 A0,1） 解 决 方 法可将其转化为 ，其中 ，则数列 为公比等于 A 的等比数列，然后求 即可。1()natttnatna（1）若 c=1 时，数列 为等差数列;n（2）若 d=0 时，数列 为等比数列;（3）若 时，数列 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.0且dcna方法如下：设 ,)(1nca得 ,与题设 比较系数得)(1cn ,1dcn
