1、1初中数学规律题拓展研究“有比较才有鉴别” 。通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。揭示的规律，常常包含着事物的序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：一、基本方法看增幅（一）如增幅相等（实为等差数列）：对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第 n 个数可以表示为： a1+(n-1)b，其中 a 为数列的第一位数，b 为增幅，(n-1)b 为第一位数到第 n 位的总增幅。然
2、后再简化代数式 a+(n-1)b。例：4、10、16、22、28 ，求第 n 位数。分析：第二位数起，每位数都比前一位数增加 6，增幅都是 6，所以，第 n 位数是：4+(n-1) 66n2（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列） 。如增幅分别为 3、5 、7、9，说明增幅以同等幅度增加。此种数列第 n 位的数也有一种通用求法。基本思路是：1 、求出数列的第 n-1 位到第 n 位的增幅；2、求出第 1 位到第第 n 位的总增幅；3、数列的第 1 位数加上总增幅即是第 n 位数。此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察
3、的方法求出，方法就简单的多了。（三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，如：2、3、5、9,17 增幅为 1、2 、4、8.（四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等） 。此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。2二、基本技巧（一）标出序列号：找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。找出的规律，通常包序列号。所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。例如，观察下列各式数：0，3 ，8，15，24 ， 。试按此规律写出的第100 个数是
4、 100 ，第 n 个数是 n 。2112解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第 100 个数。我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0 ，3 ，8，15，24 ，。序列号： 1，2 ，3， 4， 5，。容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减 1。因此，第 n 项是 -1，第 100 项是 12n20（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或 2n、3n 有关。例如：1，9，25，49， （ 81） ， （121） ，的第 n 项为（ ） ，2)1(n1，2，3，4，5 。 。 。 。 。 。 ，从中可以看出 n=2 时，正好是
5、22-1 的平方,n=3 时，正好是 23-1 的平方，以此类推。（三）看例题：A： 2、9、28、65. 增幅是 7、19 、37. ，增幅的增幅是 12、18答案与 3 有关且是 n 的 3 次幂，即： n +13B：2、4、8、16. 增幅是 2、4、8. .答案与 2 的乘方有关即： n2（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一） 、 （二） 、 （三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。例：2、5、10、17、26，同时减去 2 后得到新数列： 0、3、8、15 、24，序列号：1、 2、3、4、5，从顺序号中可以看出
6、当 n=1 时，得 1*1-1 得 0，当n=2 时，2*2-1 得 3，3*3-1=8，以此类推，得到第 n 个数为 。再看原数123列是同时减 2 得到的新数列，则在 的基础上加 2，得到原数列第 n 项12n（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成12n为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。例 ： 4，16，36，64，？，144，196， ？（第一百个数）同除以 4 后可得新数列：1 、4、9、16，很显然是位置数的平方，得到新数列第 n 项即 n ，原数列是同除以 4 得到的新数列，所以求出新数列 n 的公式2后再乘以 4 即， 4 n ，则求出第一百个数为 4
7、*100 =400002（六）同技巧（四） 、 （五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为 1、2 、3） 。当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。三、基本步骤1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解题。2、 如不相等，综合运用技巧（一） 、 （二） 、 （三）找规律3、 如不行，就运用技巧（四） 、 （五） 、 （六） ，变换成新数列，然后运用技巧（一） 、 （二） 、 （三）找出新数列的规律4、 最后，如增幅以同等幅度增加，则用用基本方法（二）解题四、练习题例
8、 1：一道初中数学找规律题0，3，8，15 ，24， 2，5，10，17，26 ， 0，6，16，30，48（1）第一组有什么规律？答：从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？答：第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于 2，说明第二组的每项都比第一组的每项多 2，则第二组第 n项是：位置数平方减 1 加 2，得位置数平方加 1 即 。2n第三组可以看出正好是第一组每项数的 2 倍，则第三组第 n 项是： 124（3）取每组的第 7 个数，求这三个数的和？答：用上述三组数的第 n 项公式可以求出，第一组第七个数是 7
9、的平方减一得 48，第二组第七个数是 7 的平方加一得 50，第三组第七个数是 2 乘以括号7 的平方减一得 96，48+50+96=1942、观察下面两行数2，4，8，16 ，32，64， （1 ）5，7，11，19，35，67 （2）根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。 （要求写出最后的计算结果和详细解题过程。 ）解：第一组可以看出是 2 ，第二组可以看出是第一组的每项都加 3，即n2 +3，n则第一组第十个数是 2 =1024，第二组第十个数是 2 +3 得 1027，两项相10 10加得 2051。3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前 2002 个中
10、有几个是黑的？解：从数列中可以看出规律即：1，1，1，2，1 ，3 ，1，4，1，5 ，.，每二项中后项减前项为0，1，2，3，4 ，5 ，正好是等差数列，并且数列中偶项位置全部为黑色珠子，因此得出 2002 除以 2 得 1001，即前 2002 个中有 1001 个是黑色的。4、 =8 =16 =24 用含有 N 的代数式表示规律235257解：被减数是不包含 1 的奇数的平方，减数是包括 1 的奇数的平方，差是 8的倍数，奇数项第 n 个项为 2n-1，而被减数正是比减数多 2，则被减数为 2n-1+2,得 2n+1，则用含有 n 的代数式表示为： =8n。 2n写出两个连续自然数的平方
11、差为 888 的等式解：通过上述代数式得出，平方差为 888 即 8n=8X111,得出 n=111，代入公式：（222+1） -（222-1） =88822五、对于数表51、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差六、数字推理基本类型按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：1.和差关系。又分为等差、移动求和或差两种。(1)等差关系。12，20，30，42，( 56 )127，112，97，82， ( 67 )3，4，7 ，12，( 19 )，28(2)移动求和或差。从第三项起，每一项都是前两项之和或差。1，2，3 ，5，(
12、 8 )，13A.9 B.11 C.8 D.7选 C。1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=130，1，1 ，2，4 ，7 ， 13，( 24)A.22 B.23 C.24 D.25选 C。注意此题为前三项之和等于下一项。一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。5，3，2 ，1，1 ，(0 )A.-3 B.-2 C.0 D.2选 C。前两项相减得到第三项。2.乘除关系。又分为等比、移动求积或商两种(1)等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。8，12， 18，27，(40.5) 后项与前项之比为 1.5。6，6，9
13、，18，45，(135)后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3(2)移动求积或商关系。从第三项起，每一项都是前两项之积或商。2，5，10，50，(500)100，50 ，2，25，(2/25)63，4，6，12，36，(216) 从第三项起，第三项为前两项之积除以 21，7，8，57，(457)第三项为前两项之积加 13.平方关系1，4，9，16，25，(36)，49 为位置数的平方。66，83，102 ，123 ，(146) ，看数很大，其实是不难的，66 可以看作64+2，83 可以看作 81+2，102 可以看作 100+2，123 可以看作 121+2，以此类推，可
14、以看出是 8，9 ， 10，11，12 的平方加 24.立方关系1，8，27，(81) ，125 位置数的立方。3，10，29，(83) ，127 位置数的立方加 20，1，2，9，(730) 后项为前项的立方加 15.分数数列。关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案( )分子为等比即位置数的平方，分母为等差数213495162736列，则第 n 项代数式为： n2/3 1/2 2/5 1/3 (1/4) 将 1/2 化为 2/4，1/3 化为 2/6，可得到如下数列：2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, 2/8 .可知下一个为 2/9，如果求第
15、 n 项代数式即：，分解后得：2n21n6.、质数数列2，3，5，(7)，11 质数数列4，6，10，14，22，(26) 每项除以 2 得到质数数列20，22，25，30，37 ，(48) 后项与前项相减得质数数列。7.、双重数列。又分为三种：(1)每两项为一组，如1，3，3，9，5 ，15，7，(21) 第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为 372，5，7，10，9 ，12，10 ，(13)每两项中后项减前项之差为 31/7，14，1/21 ，42，1/36，72，1/52，(104 ) 两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2(2)两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要
16、把握有规律变化的数列就可得出结果。22，39，25，38，31 ，37 ，40，36，(52) 由两个数列，22，25，31，40，( )和 39，38，37，36 组成，相互隔开，均为等差。34，36，35，35，(36)，34 ，37 ，(33) 由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减(3)数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。2.01， 4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。双重数列难题也较少。能看出是双重数列，题目一般已经解出。特别是前两种，当数字的个数超过 7 个时，为双重数列的可能性相当大。8.、组合数
17、列。最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。1，1，3，7，17，41，( 99 )A.89 B.99 C.109 D.119选 B。此为移动求和与乘除关系组合。第三项为第二项 *2 加第一项，即1X2+1=3、3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41，则空中应为 41X2+17=9965，35，17，3，( 1 )A.1 B.2 C.0 D.4选 A。平方关系与和差关系组合，分别为 8 的平方加 1，6 的平方减 1，4的平方加 1， 2 的平方减 1，下一个应为 0 的平方加 1=14，6，10，18，3
18、4，( 66 )A.50 B.64 C.66 D.68选 C。各差关系与等比关系组合。依次相减，得 2，4，8 ，16( )，可推知下一个为 32，32 +34=6686，15，35，77，( )A.106 B.117 C.136 D.143选 D。此题看似比较复杂，是等差与等比组合数列。如果拆分开来可以看出，6=2X3、 15=3x5、35=7X5、77=11X7，正好是质数 2 、3，5，7 、11 数列的后项乘以前项的结果，得出下一个应为 13X11=1432，8，24，64，( 160 )A.160 B.512 C.124 D.164选 A。此题较复杂，幂数列与等差数列组合。 2=1X
19、2 的 1 次方，8=2X2的平方，24=3*X2 ，64=4X2 ，下一个则为 5X2 =16023450，6，24，60，120，( 210 )A.186 B.210 C.220 D.226选 B。和差与立方关系组合。0=1 的 3 次方-1 ，6=2 的 3 次方-2 ，24=3 的3 次方-3，60=4 的 3 次方-4，120=5 的 3 次方-5 。空中应是 6 的 3 次方-6=2101，4，8，14，24，42 ，(76 )A.76 B .66 C.64 D.68选 A。两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，6，10 ，18，( 34 )，得到新数列后，
20、再相减，得 1，2 ，4，8，16，( 32 )，此为等比数列，下一个为 32，倒推到 3，4，6 ，8，10，34 ，再倒推至1，4，8，14 ，24，42， 76，可知选 A。9.、其他数列。2，6，12，20，( 30 )A.40 B.32 C.30 D.28选 C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一个为 5*6=301，1，2，6，24，( 120 )A.48 B.96 C.120 D.144选 C。后项=前项 X 递增数列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一个为 120=24*51，4，8，13 ，16，20， ( 25 )A.20 B.25
21、 C.27 D.289选 B。每 4 项为一重复，后期减前项依次相减得 3，4 ，5。下个重复也为3，4，5，推知得 25。27，16，5 ，( 0 )，1/7A.16 B.1 C.0 D.2选 B。依次为 3 的 3 次方，4 的 2 次方，5 的 1 次方，6 的 0 次方，7 的-1次方。四、解题方法数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。1.快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即
22、改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。2.推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。3.空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。(一)等差数列相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：自然数数列：1 ，2 ， 3，4，5，6偶数数列：2 ，4 ，6，8，10，12奇数数列：1 ，3 ，5，7，9，11 ，13例题 1 ： 103，81，59 ，( 37 )，15。A.68 B.42 C.
23、37 D.39解析：答案为 C。这显然是一个等差数列，前后项的差为 22。例题 2： 2，5，8，( 11 )。A.10 B.11 C.12 D.1310解析：从题中的前 3 个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。题中第二个数字为 5，第一个数字为2，两者的差为 3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即 8 +3=11，第四项应该是 11，即答案为 B。例题 3： 123，456，789，( 1122 )。A.1122 B.101112 C.11112 D.100112解析：答案为 A。这题的第一项为 12
24、3，第二项为 456，第三项为 789，三项中相邻两项的差都是 333，所以是一个等差数列，未知项应该是 789 +333=1122。注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从 123，456，789 这一排列，便选择 101112，肯定不对。例题 4： 11，17，23，( 29 )，35 。A.25 B.27 C.29 D.31解析：答案为 C。这同样是一个等差数列，前项与后项相差 6。例题 5： 12，15，18，( 21 )，24 ，27 。A.20 B.21 C.22 D.23解析：答案为 B。这是一个典型的等差数列，题中相邻
25、两数之差均为 3，未知项即 18+ 3=21，或 24-3=21，由此可知第四项应该是 21。(二)等比数列相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。例题 1： 2，1，1/2 ，( B )。A.0 B.1/4 C.1/8 D.-1解析：从题中的前 3 个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。题中第二个数字为 1，第一个数字为 2，两者的比值为 1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即(1/2)/2，第四项应该是 1/4，即答案为B。例题 2： 2，8，32，128 ，( 512 )。A.256 B.342 C.512 D.1024
