1、地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 1 页 共 9 页有理数的乘除法（提高）撰稿：吴婷婷 审稿：常春芳 【学习目标】1会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】要点一、有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数与 0相乘，积为 0要点诠释： (1) 不为 0的两数相乘，先确定
2、符号，再把绝对值相乘（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)(-3)，不应该写成-2-32. 有理数的乘法法则的推广：（1）多个不为 0的有理数相乘时，可以先确定积的符号，再将绝对值相乘 （2）几个数相乘，如果有一个乘数为 0，那么积就等于 0要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数(2)几个不等于 0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正(3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0反之，如果积为 0，那么至少有一个因数为 03. 倒数的意义： 若两个有理数的乘积
3、为 1，就称这两个有理数互为倒数要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是 ，-2 和 是互12相依存的；(2)0和任何数相乘都不等于 1，因此 0没有倒数；(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)4. 有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即：ab ba（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变即： (ab)c a(bc)（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即：a(b+c) ab+a
4、c要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘如 abcd d(ac)b一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加如 a(b+c+d) ab+ac+ad（3）运用运算律的目的是“简化运算” ，有时，根据需要可以把运算律“顺用” ，也可以把运算律“逆用” 要点二、有理数的除法有理数除法法则：地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 2 页 共 9 页法则一：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相
5、除；0 除以任何一个不等于 0的数都得 0.法则二：除以一个数（不等于 0） ，等于乘以这个数的倒数，即 .1()abA要点诠释：（1）一般在能整除时应用法则一方便些，在不能整除的情况下应用法则二（2）因为 0没有倒数，所以 0不能当除数（3）法则一与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值要点三、有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果要点四、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的【典型例题】类型一、有理数的乘
6、法运算1计算：(1) ；54(3)1(0.25)6(2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20)；(3)(-5)(-8.1)3.140【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分几个数相乘，有一个因数为零，积就为零解：(1) ；54(3)1(0.25)6913648(2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20) ；19-()()1个 （ ） 相 乘(3)(-5)(-8.1)3.1400【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关当因数中有一个数为 0 时，积为 0但
7、注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.2.运用简便方法计算：(1) ；（2）10.2534451278397【答案与解析】根据题目特点，(1)可以先用乘法交换律把 与 4 相乘，再运用乘法结0.合律将 与 相乘(2)计算 的值可运用分配律，计算.527的值则可逆用分配律187地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 3 页 共 9 页解：(1) 原式 ；161680.254(0.25)5（2） 478397512+8118()873【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点适当运用“凑整法”进行交换和
8、结合举一反三：【变式】用简便方法计算：(1) ；21530.4(3)0.477(2) .5682.6【答案】解：（1）原式 125(13)()0.340.347725().130.4(1)30.41.3(2) .45.628.576(-3.14)35.2+(-3.14)223.3+(-3.14)18.2-3.14(35.2+46.6+18 .2)-3.14100-314类型二、有理数的除法运算3计算： 17(49)2(3)【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分但要注意除法没有分配律【答案与解析】地址
9、：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 4 页 共 9 页解： 17(49)2(3)3149)7314937【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果举一反三：【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例 1（3） 】【变式】计算： 1()2()5【答案】解：原式 023761类型三、有理数的乘除混合运算4.计算： 9481()【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 1(6)4996【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算乘除运
10、算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行 举一反三：【变式】计算： 140(2)893【答案】解： 194189412308326类型四、有理数的加减乘除混合运算5. 计算： 1213065【答案与解析】解：方法 1： 1203510方法 2： 230653021()6所以 11【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 5 页 共 9 页算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法 2 利用倒数关系巧妙解决，如果按a(b+c) ab+ac 进行分
11、配就错了 举一反三：【变式】 （1） ；（2）21130653075318.4563.996【答案】 （1）原式= ()20（2）原式 7531818.4563.996(4)(.49)2.17类型五、含绝对值的化简 6. 已知 a、 b、 c 为不等于零的有理数，你能求出 的值吗?|abc【思路点拨】当 a、 b、 c 分别大于 0 时， ， ， ；当 a、 b、 c 分别小|1a|1于 0 时， ， ， |1|【答案与解析】解：分四种情况：(1)当 a、 b、 c 三个数都为正数时， ；| 13abcabc(2)当 a、 b、 c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设 a 为负数，b
12、、 c 为正数，；| 1c(3)当 a、 b、 c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设 a 为正数，b 、 c 为负数，；|ab(4)当 a、 b、 c 三个数都为负数时，| (1)()3cb综上， 的值为：|a3,【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论举一反三：【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例 2】地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 6 页 共 9 页【变式】计算 的取值ab【答案】解：(1)当 a0、b0 时， ；12ab原 式(2)当 a0、b0 时
13、， ；原 式(3)当 a0，b0 时， ；0ab原 式(4)当 a0，b0 时， 1原 式综上， 的值为： 2,0【巩固练习】一、选择题1若 a c 0 b ，则 abc 与 0的大小关系是（ ） Aabc 0 Babc = 0 Cabc 0 D无法确定2. 若|x-1|+|y+2|+|z-3|0，则(x +1)(y-2)(z+3)的值为( )A48 B-48 C0 Dxyz3已知 a0，-1b0，则 a， ab， ab2由小到大的排列顺序是( )Aaabab 2 B ab2abaCaab 2ab Dabaab 24. 若“!”是一种数学运算符号，并且1!1，2!21!，3!321，4!432
14、1，则 的值是为（ ） 10!98A B99! C9900 D2!5045.下列计算：0-(-5)-5； ； ；(3)9123342；若 ，则 x的倒数是 6其中正确的个数是（ ） (36)942xA1 B2 C3 D46.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ） A2010 B2011 C2012 D2013地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 7 页 共 9 页7已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元 2009年、2010 年、2012 年举办.
15、若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（ ）A公元 2070年 B公元 2071年 C公元 2072年 D公元 2073年二、填空题8计算 12-7(-32)+16(-4)之值为 9已知 ， ，且 ，则 的值是_|4x1|2y0xy10.如果 ，则化简 = .0xy11.某商场销售一款服装，每件标价 150元，若以八折销售，仍可获利 30元，则这款服装每件的进价为_元12.在 与它的倒数之间有 个整数，在 与它的相反数之间有 个整数，则3.5a3.5b= .()2ab13.如果有理数 都不为 0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则,cd中最少有 个负数，最多
16、有 个负数.,cd三、解答题14.计算：（1） 731()(4826（2） 10).25.(%)52（3） 1()3(81)6（4）(-9)(-4)(-2)(5) )2041)(3()5(4)3(2（6）200420032003-2003200420040415.受金融危机的影响，华盛公司去年 13 月平均每月亏损 15 万元，46 月平均每月盈利 20 万元，710 月平均每月盈利 17 万元，1112 月平均每月亏损 23 万元这个公司决定：若平均每月盈利在 3 万元以上，则继续做原来的生产项目，否则要改做其他项目请你帮助该公司进行决策是否要改做其他项目，并说明你的理由16.用计算器计算下
17、列各式，将结果写在横线上：； ； ；921_92_923_ 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 8 页 共 9 页924_（1）你发现了什么规律，请用字母 （ 为正整数）表示n（2）不用计算器，直接写出结果 92_【答案与解析】一、选择题1.【答案】C【解析】abc 中负因子的个数有两个，所以最后的积应为正的.2.【答案】B 【解析】由|x-1|+|y+2 |+|z-3|0 可求得 x1，y-2，z3，所以(x+1)(y-2)(z+3)2(-4)6-483.【答案】C 【解
18、析】利用特殊值法，取 a-2，b ，则 ab-2 ， ，易121ab比较得到4.【答案】C【解析】这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可100!=100999821，98 !989721，故原式1009999005.【答案】B 【解析】正确 6.【答案】D【解析】从图可得，截下的部分应该为：蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 黄 绿 |， ， |蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 ， 每 5个 一 个 循 环 ， 总 个 数 应 该 是 被 5除 余 3的 数 ， 所 以 答 案 应 为 ： 20137 【答案】B【解析】由已知，我们可总结出每 4年举办一次，只要每个选项与 2009，2010，
19、2012 的差有一个是 4的倍数，则能在这一年举办某项运动会，否则这三项运动会均不在这一年举办二、填空题8.【答案】232 【解析】原式12-(-224)+(-4)2329.【答案】-8 【解析】因为|x|4，所以 x4 或-4同理， 或 又因为 ，所以12y0xyx、y 异号所以 8xy10.【答案】0【解析】 ； ，所以和为 0,1x0,1xy11.【答案】90 【解析】依题意列式为：1500.8-3090地址：北京市西城区新德街 20 号 4 层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第 9 页 共 9 页12.【答案】-5 【解析】由题意可得： ，代入计算得：
20、-53,7ab13.【答案】1； 3 【解析】 四个数的积的绝对值等于它们积得相反数，可得这四个数的积为负数，,abcd所以负因子的个数为奇数个，从而可得最少有 1个，最多有 3个.三、解答题14. 【解析】解：（1）原式= 173()(48261348)(48)252（2）因为 从而加数中都含有 ，所以逆用乘法分配律，可使运算简10.2%便原式 1374.5137024.5140（3）原式= 68-+()96(4)原式-942 142(5) 原式= 2043)()5(3)(21=- 0=- 04（6）原式= 2004200310001-2003200410001=0.15.【解析】解：不需要改做其他项目理由：(-15)3+203+17 4+(-23)2-45+60+68 -4637(万元)因为，所以不需要改做其他项目1372316.【解析】解：20979，21978，22977，23976（1） ，其中 表示 ；_9()9710)nn_ab10（2）28971
