1、数学思想方法第三章 数学的真理性 在教学中，任何一个定理都需要经过演绎证明，然后一门数学分支都需要经公理化。第一节 数学的证明和科学的证明一、数学证明的由来 数学证明始于公元前 6世纪。据说当时的希腊哲学家泰勒斯是拥有一些演绎几何学定理发明权的第一人。 从一个更基本的事实出发，经过更简单的演绎推理得到所有要求的结果的这种几何学被称为论证的（或演绎的、有系统的）几何学。欧几里得几何就属于这种几何学，它奠定了数学证明的模式。 二、数学的证明 数学上的证明是以一些基本概念和基本公理为基础，使用合乎逻辑的推理决定判断是否正确。 数学中的判断成为命题。 因此 “一个命题如果是真，它必须且只须是由这样一串
2、命题的最后一个，其中每个命题或者是形式系统的一条公理，或者是有一条法则所推导出的命题。 ” 三、科学的证明 科学证明不同于数学证明，它依赖于观察、试验和理解力，而这些都容易出错。 在科学学科中，一个假设被提出来，用以解释某类现象。如果对现象的观察与这个假设相符，就成为这个假设成立的证据。如果再次被证实，则就有更多证据支持这个假设，当证据的数量达到压倒的程度时，这个假设就作为一个理论被接受。如果当这种理论最终被证明是错的，就会有新的理论来代替。 数学证明则不同，它有绝对的意义。经过数学证明的结果是无可怀疑的，经得起时间的考验的。应为它是依赖逻辑，是演绎证明，不依赖于观察和实验。 四、数学证明的功
3、用 数学证明不仅能告诉我们命题的真伪，也能告诉我们命题的内涵以及事物之间的关系。 数学证明的功用主要体现如下三个方面： 1核实命题 2理解命题 3发现命题第二节 数学的公理化 一、公理化的起源 合乎逻辑的学科应该是有一组在开始研究这一学科时假设可以接受的原始（陈述）出发，通过演绎推理得到的一系列命题。因此，在开始研究这一学科使必须确定一组原始命题并且承认他们是正确的，然后完全由演绎推理来导出这一学科的其他所有命题。这种观念建立起来的学科称为依实质性公理化建立的学科。数学史上第一个这样的学科就是欧几里得几何，以几何原本为标志。是希腊人对数学的最杰出的贡献，是数学公理化成功的源头。 二、公理化的发展 为了消除对欧几里得第五公设的疑虑，诞生了非欧几何，这是人们对几何公理的实质有了更深刻的认知。非欧几何的出现极大的推动了公理化的发展，而公理化的进一步发展则源于对欧几里得几何的重建。 1非欧几何产生的过程 代替欧几里得第五公设而提出的几种命题： 在一平面上过已知直线外一给定点且只有一条直线与已知直线不相交； 两条相交直线不能同时平行于第三条直线； 存在一对同一平面的直线彼此处处等距离； 过任何三个不在同一直线上的点可作一个圆； 至少存在一个三角形，其三个角的和等于两个直角。
