1、 4321 NMABO DP PCABMN第 02 讲 角平分线的性质与判定考点方法破译1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.经典考题赏析【例】如图，已知 OD 平分 AOB，在 OA、 OB 边上截取OA OB， PM BD， PN AD.求证： PM PN【解法指导】由于 PM BD， PN AD.欲证 PM PN 只需34，证34，只需3 和4 所在的 OBD 与 OAD 全等即可.证明： OD 平分 AOB 12在 OBD 与 OAD 中， OBD
2、OAD12OBAD34 PM BD， PN AD 所以 PM PN【变式题组】01如图， CP、 BP 分别平分 ABC 的外角 BCM、 CBN.求证：点 P 在 BAC 的平分线上.MNABDCPEDA BC21 F EDA BCDCA B02如图， BD 平分 ABC， AB BC，点 P 是 BD 延长线上的一点， PM AD， PN CD.求证： PM PN【例】（天津竞赛题）如图，已知四边形 ABCD 中， AC 平分 BAD， CE AB 于点 E，且 AE (AB AD)，如果 D120，求 B 的度数12【解法指导】由已知12， CE AB，联想到可作 CF AD 于 F，得
3、CE CF， AF AE，又由 AE (AB AD)得 DF EB，于是可证 CFD CEB，则12 B CDF60.或者在 AE 上截取 AM AD 从而构造全等三角形. 解：过点 C 作 CF AD 于点 F. AC 平分 BAD， CE AB，点 C 是 AC 上一点， CE CF在 Rt CFA 和 Rt CEA 中， Rt ACF Rt ACE AF AECEA又 AE (AE BE AF DF)，2 AE AE AF BE DF， BE DF12 CF AD， CE AB， F CEB90在 CEB 和 CFD 中， ， CEB CFDCEBD B CDF 又 ADC120， CD
4、F60，即 B60.【变式题组】01如图，在 ABC 中， CD 平分 ACB， AC5， BC3.求 ACDBS321 FEDCABDECA B02(河北竞赛)在四边形 ABCD 中，已知 AB a， AD b.且 BC DC，对角线 AC 平分 BAD，问 a 与 b 的大小符合什么条件时，有 B D180，请画图并证明你的结论.【例】如图，在 ABC 中， BAC90, AB AC， BE 平分 ABC， CE BE.求证： CE BD12【解法指导】由于 BE 平分 ABC，因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE从而构造全等三角形.证明：延长 CE 交 BA 的延长线于 F
5、，12， BE BE， BEF BEC BEF BEC(ASA) CE EF， CE CF 121 F3 F90，13在 ABD 和 ACF 中， ， ABD ACF 13ABCDF BD CF CE BD2【变式题组】01如图，已知 AC BD， EA、 EB 分别平分 CAB、 DBA， CD 过点 E，求证： AB AC BD.DFEBA C图1图 DCB A图2图DBCAEP 图3图QSRPBA C 图4图 E FBDAC 图5图EBCA 02如图，在 ABC 中， B60， AD、 CE 分别是 BAC、 BCA 的平分线， AD、 CE相交于点 F.请你判断 FE 和 FD 之间的
6、数量关系，并说明理由；求证： AE CD AC.演练巩固反馈提高01如图，在 Rt ABC 中， C90， BD 平分 ABC 交 AC 于 D，若CD n， AB m，则 ABD 的面积是（ ）A mn B mn C mn D2 mn131202如图，已知 AB AC， BE CE，下面四个结论： BP CP； AD BC； AE 平分 BAC； PBC PCB.其中正确的结论个数有（ ）个A 1 B2 C3 D403如图，在 ABC 中， P、 Q 分别是 BC、 AC 上的点，作 PR AB， PS AC，垂足分别是 R、 S.若 AQ PQ， PR PS，下列结论： AS AR； PQ
7、 AR； BRPCSP.其中正确的是（ ）A B CD图6图FEDPAB C 图7图PAB CEF 图8图DA B C E 图9图EDCAB 图10图KNMQCBA04如图， ABC 中， AB AC， AD 平分 BAC， DE AB， DF AC，垂足分别是 E、 F，则下列四个结论中： AD 上任意一点到 B、 C 的距离相等； AD 上任意一点到AB、 AC 的距离相等； AD BC 且 BD CD； BDE CDF.其中正确的是（ ）A B C D05如图，在 Rt ABC 中， ACB90， CAB30， ACB 的平分线与 ABC 的外角平分线交于 E 点，则 AEB 的度数为（
8、 ）A50 B45 C40 D3506如图， P 是 ABC 内一点， PD AB 于 D， PE BC 于 E， PF AC 于 F，且PD PE PF，给出下列结论： AD AF； AB EC AC BE； BC CF AB AF；点 P 是 ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）A B C D07如图，点 P 是 ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）A点 P 到 ABC 三边的距离相等 B点 P 在 ABC 的平分线上C P 与 B 的关系是： P B90 D P 与 B 的关系是： B P12 1208如图， BD 平分 ABC， CD 平分 ACE，
9、 BD 与 CD 相交于 D.给出下列结论：点 D到 AB、 AC 的距离相等； BAC2 BDC； DA DC； DB 平分 ADC.其中正确的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个FB DE CAOFEDAB C09如图， ABC 中， C90 AD 是 ABC 的角平分线， DE AB 于 E，下列结论中： AD 平分 CDE； BAC BDE； DE 平分 ADB； AB AC BE.其中正确的个数有（ ）A3 个 B2 个 C1 个 D4 个10如图，已知 BQ 是 ABC 的内角平分线， CQ 是 ACB 的外角平分线，由 Q 出发，作点 Q 到 BC、 AC 和 AB
10、 的垂线 QM、 QN 和 QK，垂足分别为 M、 N、 K，则QM、 QN、 QK 的关系是_11如图， AD 是 BAC 的平分线， DE AB 于 E， DF AC 于 F，且 DB DC.求证：BE CF12如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， DE AB 于点 E， DF AC 于点 F.求证：AD EF.l 1l2l3图1图图3图DC A BP 图4图FGEPA BCD 图5图EODBACGPFEDCB A培优升级奥赛检测01如图，直线 l1、 l2、 l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）A一处 B二处
11、 C三处 D四处 02已知 Rt ABC 中， C90， AD 平分 BAC 交 BC 于 D，若 BC32，且BD:CD9:7，则 D 到 AB 边的距离为（ ）A18 B16 C14 D12 03如图， ABC 中， C90， AD 是 ABC 的平分线，有一个动点 P 从 A 向 B 运动.已知： DC3 cm， DB4 cm， AD8 cm.DP 的长为 x(cm)，那么 x 的范围是_04如图，已知 AB CD， PE AB， PF BD， PG CD，垂足分别为 E、 F、 G，且PF PG PE，则 BPD_05如图，已知 AB CD， O 为 CAB、 ACD 的平分线的交点， OE AC，且 OE2，则两平行线 AB、 CD 间的距离等于_06如图， AD 平分 BAC， EF AD，垂足为 P， EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点G.求证： G ( ACB B)12PDAB CQPCBA07如图,在 ABC 中, AB AC,AD 是 BAC 的平分线, P 为 AC 上任意一点.求证:AB AC DB DC08如图，在 ABC 中， BAC60， ACB40， P、 Q 分别在 BC、 AC 上，并且AP、 BQ 分别为 BAC、 ABC 的角平分线上.求证： BQ AQ AB BP
