1、遵义师范学院 20122013 学年度第二学期 数学文化 公共选修课第 7 讲数学与人类思想解放1数学不仅仅为各门科学提供方法和工具，而且对于人类的思想解放产生过极大的影响，数学史上几次重大进展，在很大程度上打破了人类的思想局限，拓展了人类思想的视野。以下几例可以说明：一、解析几何与微积分的发明 突破了初等数学的限制，推动了科学和生产技术的飞速发展；二、非欧几何的诞生与相对论的问世 破除了 “眼 见为实 ” 的局限，促成物理学和宇宙观的革命；三、哥德尔不完全性定理的证明 说明了追求绝对真理是不现实的，应该客观看待真理；四、选票分配问题 揭示不可能有真正的公平一、解析几何与微积分的发明古希腊曾产
2、生过著名的三大几何难题 :1.化圆为方问题； 2.三等分角问题； 3.倍立方体问题。都是借助于代数方法进行讨论并得到了部分成果，说明那时候， “ 数 ” 与 “ 形 ” 就已经产生了联系，当然后来的数学理论证明这三个问题都是不可能解决的。但从公元前到公元 16世纪，几何与代数各自并行发展着。表面上看，几何似乎是关于形的科学而与数无关，代数似乎是关于数的科学而与形无关。代数与几何难以联系的原因是：人们心目中的数是相互孤立的，难以从数想到由无穷多个点构成的线等图形。而对于形来说，例如线段或封闭图形，它们与数的联系也只限于长度与面积，难以从图形想到数的能力。人们从 “ 运动 ” 的角度来联系数与形的
3、：决定性的工具是建立了坐标系，点对应于数。点的运动形成了线，线的运动形成了体 .数与形的充分结合才产生了解析几何。解析几何的主要创始人是笛卡儿。在笛卡儿之前，就已经出现了代数与几何的结合，即解析几何的萌芽 .笛卡尔首先用代数方法解决了求给定长度 AB与 AC的比例中项问题 从几何得到了一个代数方程 .另一方面 ,又将方程的根通过几何上表示出来 (尺规作图).反过来 ,笛卡儿对几何问题应用了代数方法 :研究几何轨迹问题 .解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示 ,同时又用代数的研究方法来研究几何 .这种方法显示了其强大的生命力 :代数是纯演算的和推理的 ,它只需要逻辑的和技巧的 ,而不需要面对千变万化的几何曲线的表面现象得到其本质性的东西 .即几何曲线 (曲面 )的分类 .通过建立平面直角坐标系，首先用最简单方程“ 标准方程 ” 表示处于特殊位置 以坐标轴为对称轴、以坐标原点为中心或顶点的几种常见曲线：直线、圆、椭圆、双曲线，抛物线：而对于不是特殊位置的曲线，它们的方程就不是这么简单，而是所谓的 “ 一般方程 ” ：则通过代数方法 (平移和旋转 )我们可以把一般方程化为标准方程 . 它们是二次曲线的本质 三类 :椭圆、双曲线和抛物线 。 而且还有三个不变量 .难以想象 ,没有代数的参与 ,在众多曲线中我们能看到这些本质性的东西 .
