1、第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一）直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点） ，相切（一个公共点） ，相离（无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线 和椭圆： 为例ykxm210xyab（1）联立直线与椭圆方程： 22kbxy（2）确定主变量 （或 ）并通过直线方程消去另一变量 （或 ） ，代入椭圆方程得到xyyx关于主变量的一元二次方程： ，整理可得：22akmab20kbx（3）通过计算判别式 的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 方程有两个不同实根 直线与椭圆相交0
2、方程有两个相同实根 直线与椭圆相切 方程没有实根 直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交（二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交，相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同，可通过方程根的个数进行判定以直线 和椭圆： 为例：ykxm210xyab（1）联立直线与双曲线方程： ，消元代入后可得：22kmxy22 0bakxab（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为 ，所以消元后的方程一定是二次方程，2k但双曲线中，消元后的方程二次项系数为 ，有可能为零。所以要分情况进行讨论2ba第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何当 且 时，方程变为一次方程
3、，有一个根。此时直线与双曲20bbaka0m线相交，只有一个公共点当 时，常数项为 ，所以 恒成立，2k220amb此时直线与双曲线相交当 或 时，直线与双曲线的公共点个数需要用 判断：20bbaka 方程有两个不同实根 直线与双曲线相交 方程有两个相同实根 直线与双曲线相切 方程没有实根 直线与双曲线相离0注：对于直线与双曲线的位置关系，不能简单的凭公共点的个数来判定位置。尤其是直线与双曲线有一个公共点时，如果是通过一次方程解出，则为相交；如果是通过二次方程解出相同的根，则为相切（3）直线与双曲线交点的位置判定：因为双曲线上的点横坐标的范围为，所以通过横坐标的符号即可判断交点位于哪一支上：当
4、 时，点,a xa位于双曲线的右支；当 时，点位于双曲线的左支。对于方程：xa，设两个根为22220bkmab12, 当 时，则 ，所以 异号，即20baa212xk12,x交点分别位于双曲线的左，右支 当 或 ，且 时， ，所以20bbkak02210ambxk同号，即交点位于同一支上12,x（4）直线与双曲线位置关系的几何解释：通过（2）可发现直线与双曲线的位置关系与直线的斜率相关，其分界点 刚好与双曲线的渐近线斜率相同。所以可通过数形结合得到ba位置关系的判定 且 时，此时直线与渐近线平行，可视为渐近线进行平移，则在平移过程bka0m中与双曲线的一支相交的同时，也在远离双曲线的另一支，所
5、以只有一个交点第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何 时，直线的斜率介于两条渐近线斜率之中，通过图像可得无论如何平移直bka线，直线均与双曲线有两个交点，且两个交点分别位于双曲线的左，右支上。 或 时，此时直线比渐近线“更陡” ，通过平移观察可得：20bak直线不一定与双曲线有公共点（与 的符号对应） ，可能相离，相切，相交，如果相交则交点位于双曲线同一支上。（三）直线与抛物线位置关系：相交，相切，相离1、位置关系的判定：以直线 和抛物线： 为例ykxm20ypx联立方程： ，整理后可得：22ykxpp220kxx（1）当 时，此时方程为关于 的一次方程，所以有一个实根。此时直线为水平线，0
6、k与抛物线相交（2）当 时，则方程为关于 的二次方程，可通过判别式进行判定x 方程有两个不同实根 直线与抛物线相交0 方程有两个相同实根 直线与抛物线相切 方程没有实根 直线与抛物线相离2、焦点弦问题：设抛物线方程： ，2ypx过焦点的直线 （斜率存在且 ） ，对应倾斜角为 ，与抛物线交于:lykx0k12,AxB联立方程： ，整理可得：22ypxpkxxk22204kxpx（1） 221yp第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何（2）2212 21kpkpABx k22 2cos1taninip（3） 2211sisinsinAOBl ppSdOFAB（四）圆锥曲线问题的解决思路与常用公式
7、：1、直线与圆锥曲线问题的特点：（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉） ，（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设 ，至于 坐标是否12,AxyB,AB需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂（3）通过联立方程消元，可得到关于 （或 ）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出 （所谓“设而不12,xy求” ）（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入。则可简化运算的过程这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（12,
8、AxyB，坚持数形结合，坚持整体代入。直至解决解析几何问题“212y2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系。进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案。所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方。如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算） ，或者所求的问题与两根和，乘积无关
9、，则韦达定理毫无用武之地。3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何（1）斜截式： ，此直线不能表示竖直线。联立方程如果消去 则此形式比较ykxm y好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件（2） ，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线。经常在联立xyb方程后消去 时使用，多用于抛物线 （消元后的二次方程形式简单） 。此直线不2ypx能直接体现斜率，当 时，斜率0m1km4、弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线 ， 上两点:lykxl，所以 或12,AxyB21ABkx21ABy（1
10、）证明：因为 在直线 上，所以12,xyl12ykxm，代入 可得：2112AB12ykx22 211211xkxmkx21x同理可证得 12AByk（2）弦长公式的适用范围为直线上的任意两点，但如果 为直线与曲线的交点（即,AB为曲线上的弦） ，则 （或 ）可进行变形：12x12y，从而可用方程的韦达定理进行整体代入。2121 4x x5、点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线。不妨以椭圆方程 为例，设直线 与椭圆交于 两点，20yabykxm12,AxyB则该两点满足椭圆方程，有：第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何212xyab考虑两个方程左右分别作差，并利用
11、平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系：22110xyab222122 y11212220xab由等式可知：其中直线 的斜率 ， 中点的坐标为AB12ykxAB，这些要素均在式中有所体现。所以通过“点差法”可得到关于直线1212,xy的斜率与 中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时。同时由可得在涉AB及 坐标的平方差问题中也可使用点差法。,二、典型例题例 1：不论 为何值，直线 与椭圆 有公共点，则实数 的取值范围k1ykx217xymm是（ ）A. B. C. D. 0, ,7,0,7思路一：可通过联立方程，消去变量（如消去 ） ，得到关于 的二次方程，因为直线与椭yx圆有公共点
12、，所以 在 恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，解出 即可0xRm解： ，整理可得：2221717ykxmkmm402217kk即 701m第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何2max71k,7,思路二：从所给含参直线 入手可知直线过定点 ，所以若过定点的直线均与1ykx0,1椭圆有公共点，则该点位于椭圆的内部或椭圆上，所以代入 后 ，即,217xym，因为是椭圆，所以 ，故 的取值范围是21m7m,答案：C小 炼 有 话 说 ：（1）比较两种思路，第一种思路比较传统，通过根的个数来确定直线与椭圆位置关系，进而将问题转化为不等式恒成立问题求解；第二种思路是抓住点与椭圆位置关系的特点，即若点
13、在封闭曲线内，则过该点的直线必与椭圆相交，从而以定点为突破口巧妙解决问题。在思路二中，从含参直线能发现定点是关键（2）本题还要注意细节，椭圆方程中 的系数不同，所以2,xy7m例 2：已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 的直线与双曲线的右支有且只有214xyF一个交点，则此直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 3,3,3,3,思路：由 可得渐近线方程为： ，若过右焦点的直线与右支只有一214xy3yx个交点，则直线的斜率的绝对值小于或等于渐近线斜率的绝对值，即33kk答案：C小 炼 有 话 说 ：本题是利用“基础知识”的结论直接得到的答案，代数的推理如下：由 可知 ，设直线 ，联立方
14、程可得：214xy4,0F:4lykx，整理后可得：2 22331xkyk第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何222134810kxk当 时， ，即位于双曲线右支，符合题意23072xx当 时， 213k22 24134814810kkk直线与双曲线必有两个交点，设为 2,xy因为直线与双曲线的右支有且只有一个交点，即 120x248103k23k综上所述： 3k例 3：已知抛物线 的方程为 ，过点 和点 的直线与抛物线 没C21xy0,1A,3BtC有公共点，则实数 的取值范围是（ ）tA. B. ,1,2,C. D. ,2,思路：由 两点可确定直线 的方程（含 ） ，再通过与抛物线方程
15、联立，利用,ABABt即可得到关于 的不等式，从而解得 的范围0t解：若 ，则直线 与抛物线有公共点，不符题意t:0x若 ，则 ，与椭圆联立方程：4ABkt41yxt22114xyxtt直线与抛物线无公共点20t或 1682tt第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何答案：D例 4：过双曲线 的右焦点 作直线 交双曲线于 两点，若实数 使得21yxFl,AB的直线恰有 3 条，则 _AB思路：由双曲线方程可知 ，当 斜率不存在时，可知 为通径，计算可得：,0l，当 斜率存在时，设直线 ，与椭圆方程联立，利用弦长公式4l :3ykx可得 为关于 的表达式，即 。可解得： 或21kAB24124k
16、。若 或 ，即 时，可得 ，仅有一解，不符24k000题意。若 且 ，则每个方程只能无解或两解。所以可知当 时，24 4方程有两解，再结合斜率不存在的情况，共有 3 解。符合题意，所以 解：由双曲线 可得 ，21yx,2,abc3,0F当 斜率不存在时， 的方程为 为通径，即 ABl3xAB24ba若直线 斜率存在，不妨设为 lk则设 ， :3ykx12,Axy联立直线与椭圆方程： 消去 可得： ，整理可得：23ky223xk22230kx2416kk222124ABx 可得： 或 24k2k当 时，即 ，则方程的解为 ，只有一解，不符题意00k第九章 直线与圆锥曲线位置关系 解析几何同理，当
17、 ，即 ，则方程的解为 ，只有一解，不符题意24020k当 且 时，则每个方程的解为 0 个或两个，总和无法达到 3 个，不符题意所以若 的直线恰有 3 条，只能 ，方程解得： AB42k满足条件的直线 的方程为： ， ，x23yx3yx答案： 4例 5：已知椭圆 ，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线 对称，213xy 4yxm则 的取值范围是（ ）mA. B. 13213C. D. m思路：设椭圆上两点 ，中点坐标为 ，则有 ，12,AxyB0,xy012xy由中点问题想到点差法，则有 ，变形可1221123434xy得： 由对称关系和对称轴方程可得，直12121123 0x线 的斜率 ，所以方程转化为： AB124ykx0016834xyyx，由对称性可知 中点 在对称轴上，所以有 ，所以解得：0, 0m，依题意可得：点 必在椭圆内，所以有 ，代入可得：03xmy0,xy20341xy，解得：2241213答案：D
