1、第八章数论及其猜想的意义数论的定义n 所谓数论，就是以整数为研究对象，用数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其他数来表示的观点来研究数的一门数学科学。因此可以说数论是研究整数按一定形式构成的数系的科学。n 数论是雅俗共赏的数学分支。1、数论发展简介从研究方法划分，数论可分为初等数论、解析数论、代数数论、几何数论和超越数论。初等数论（ 1）n 初等数论的历史悠久，n 毕达哥拉斯曾对数的整除性做过系统的研究，研究成果被欧几里得记载于 几何原本 第 7、 8、 9篇里，欧几里得还证明了算术基本定理；n 数学史上第一本数论典籍 算术入门 是尼可马修斯（ Nicomachus，公元 1世纪，古希腊）
2、写的；初等数论（ 2）n 丢番图写的 算术 中，也有许多关于数论的命题。n 同余是数论的重要概念n 商高知道 x2+y2=z2至少有一组正整数解（ 3，4， 5）， 九章算术 则给出了 8组勾股数n 1640年，费马给出了费马小定理：如果是 p质数，且整数 a与 p互质，则 ap-a是 p的倍数。欧拉 1736年首先证明了这个命题， 1760年又将它推广到合数的情形。初等数论（ 3）n 1772年拉哥朗日证明了费马给出的又一定理：每一个正整数都能够表示成 4个整数的平方和；n 1798年，勒让德的第一部数论的教科书出版；n 1801年高斯著名的 算术探讨 一书问世；初等数论（ 4）数学家们研究
3、数论，方法争奇斗艳，异彩纷呈。但初等数论一般不借助于其他数学分支知识，只依靠算术方法对整数性质进行研究。解析数论n 解析数论是用数学分析作工具来研究数论的。18世纪 欧拉 用无穷级数知识证明 “质数有无穷多个 ”。不久，他又提出母函数法，利用幂级数来研究整数分析，导致了圆法及指数和方法的产生。n 1837年、 1837年 狄里赫利 两次用分析方法创立了被人们公认的狄里赫利（剩余）特征、狄里赫利 L函数，从而奠定了解析数论的基础。n 20世纪 30年代，维诺格拉托夫（ 1891-1983，苏）提出 “三角和方法 ”-一个重要的方法。代数数论n 代数数论是以代数整数（或代数数域）为研究对象的，不少
4、整数问题的解决要借助于或归结为代数整数的研究。因此，代数数论是整数研究的发展。它主要起源于对费马猜想的研究。库麦（ 1810-1893，德） 在探求解决费马猜想时引进了 “理想数 ”的概念，随后他证明了每个 “理想数 ”可以唯一地分解成质因子的乘积。因而建立了分圆域上的数论，为代数数论奠定了基础。n 高斯 为代数数论的发展作出了积极的贡献。几何数论（ 1）n 几何数论又叫数的几何，是应用几何方法研究数论问题的。 17-18世纪， 高斯与拉格朗日 已经用几何观点研究二次型的算术性质。n 1891年 闵可夫斯基 （ 1864-1909，德）发表了几何数论的第一篇论文，并于1896年出版了 数的几何 一书，为几何数论奠定了基础。
