1、教学设计5 对数函数整 体 设 计教学分析 有了学习指数函数的图像和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图像和性质的研究便水到渠成对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0 ，)的理解在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质，是本节的教学重点，而理解底数 a 的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响) 是教学的一个难点，教学时要充分利用图像，数形结
2、合，帮助学生理解为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数 ylog 2x 和 y 的图像，通过两个具体的12logx例子，引导学生共同分析它们的性质有条件的学校也可以利用几何画板软件，定义变量 a，作出函数 ylog ax 的图像，通过改变 a 的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图像和性质研究了对数函数的图像和性质之后，可以将对数函数的图像和性质与指数函数的图像和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图像和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备三维目标 1理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培
3、养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想2能根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识3掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质
4、，培养学生数学交流能力重点难点 教学重点：对数函数的定义、图像和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用教学难点：底数 a 对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明课时安排 3 课时教 学 过 程51 对数函数的概念导入新课 思路 1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用 t P 估算出土文物或古遗址的年代根57301log2据问题的实际意义可知，对于每一个碳 14 含量 P，通过对应关系t P 都有唯一确定的年代 t 与它对应，所以 t 是 P 的函5
5、7301log2数同理，对于每一个对数式 ylog ax 中的 x，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以 ylog ax 是关于 x 的函数这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数的概念思路 2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数 y 是分裂次数 x 的函数，这个函数可以用指数函数 y2 x表示现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到 1 万个，10 万个，细胞，那么，分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是 xlog 2y.如果用 x 表示自变量，
6、y 表示函数，这个函数就是 y log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数对数函数教师点出课题：对数函数的概念推进新课 Error!Error!用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的 ，写出存留污垢 x 表34示的漂洗次数 y 的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的 ，则至少要漂洗几次？164你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？为什么对数函数的概念中明确规定 a0，a1?你能求出对数函数的定义域、值域吗？如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结
7、论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的 ，则每次剩余污垢的 ，漂34 14洗 1 次存留污垢 x ，漂洗 2 次存留污垢 x 2，漂洗 y 次后14 (14)存留污垢 x y，因此 y 用 x 表示的关系式是对上式两边取对数得(14)y ，当 x 时， y3，因此至少要漂洗 3 次14log164(2)对于式子 y ，如果用字母 a 替代 ，这就是一般性的14logx14结论，即对数函数的定义：函数 ylog ax(a0 且 a1，x0)叫作对数函数，对数函数ylog ax(a 0 且 a1) 的定义域为(0，
8、 )，值域为(，) (3)根据对数与指数式的关系，知 ylog ax 可化为 ayx ，由指数的概念，要使 ayx 有意义，必须规定 a 0 且 a1.(4)因为 y logax 可化为 xa y，不管 y 取什么值，由指数函数的性质 ay0，所以 x(0，)，对数函数的值域为 (，)(5)只有形如 ylog ax(a0 且 a1，x0) 的函数才叫作对数函数，即对数符号前面的系数为 1，底数是正常数，真数是 x 的形式，否则就不是对数函数像 ylog a(x1)，y 2log ax，y log ax1 等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数指数函数 ya x和对数函数 ylog
9、 ax(a0，a1) 有什么关系？指数函数 ya x和对数函数 xlog ay 刻画的是同一对变量 x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数 y ax中，x 是自变量，y 是x 的函数其定义域是 R，值域是(0 ，) ；在对数函数 xlog ay中，y 是自变量， x 是 y 的函数，其定义域是(0 ，) ，值域是 R.像这样的两个函数叫作互为反函数，就是说，对数函数 xlog ay 是指数函数 ya x的反函数，指数函数 ya x是对数函数 xlog ay 的反函数由于对数函数通常写成 ylog ax(a0，a 1)，因此，指数函数ya x(a0， a1) 是对数函数 ylog ax(a0，
10、a1)的反函数；同时，对数函数 ylog ax(a 0，a1)也是指数函数 ya x(a0，a1)的反函数Error!思路 1例 1 (1)计算对数函数 ylog 2x 对应于 x 取 1,2,4 时的函数值；(2)计算常用对数函数 ylg x 对应于 x 取 1,10,100,0.1 时的函数值解：(1) 当 x1 时，ylog 2xlog 210，当 x2 时，ylog 2xlog 221，当 x4 时，ylog 2x log242.(2)当 x1 时，ylg xlg 10，当 x10 时，ylg xlg 101，当 x100 时， ylg xlg 1002，当 x0.1 时，ylg xl
11、g 0.1 1.例 2 写出下列对数函数的反函数：(1)y lg x；(2) y .13logx活动：我们知道对数函数与指数函数互为反函数同学们只要把握住这一点就不难解决问题解：(1) 对数函数 ylg x，它的底数是 10，它的反函数是指数函数 y10 x；(2)对数函数 ylog x，它的底数是 ，它的反函数是指数函数13 13y x.(13)例 3 写出下列指数函数的反函数：(1)y 5x；(2)y x.(23)活动：学生审题，教师提示强调，指数函数与对数函数互为反函数解：(1) 指数函数 y5 x，它的底数是 5，它的反函数是对数函数ylog 5x；(2)指数函数 y x，它的底数是
12、，它的反函数是对数函数(23) 23ylog x.23点评：深刻理解对数的定义是解题的关键思路 2例 1 求下列函数的定义域：(1)y logx 1(164 x)；(2) ylog 3x1 .(2x 3x 1)活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生此题主要利用对数函数的定义及 ylog ax 的定义域(0，) 求解教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有分式及对数和指数式，且底数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；分母不为零；零和负数没有对数；底数不为 1 等；转化为不等式来解解：(1) 要使函数有意义，需Error!即
13、Error!所以函数的定义域为x|1x2，且 x0 (2)要使函数有意义，需Error!解得Error! 所以函数的定义域为x|x1例 2 求证：函数 f(x)lg( x )是奇函数x2 1活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨判断函数的奇偶性，一般用定义法，学生回忆判断函数奇偶性的方法，要按规定的格式来写证明：设 f(x)lg( x )，由 x0，x2 1 x2 1得 x(，)，即函数的定义域为(，)，它关于原点对称，又对于定义域(，)内的任意的 x，都有 f(x)lg( x)lg( x )lg x2 1 x2 11x2 1 xlg( x )f(x )，所以函数 ylg
14、( x) 是奇函x2 1 x2 1数点评：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论Error!求下列函数的定义域：(1)f(x22)lg ；(2) y .x2x2 5 324()lgx解：(1) 设 x22t，则 x22t，所以 .所以 f(t)lgx2x2 5 t 2t 3，即 f(x)lg .t 2t 3 x 2x 3因为 x20，所以 tx 222，又 0，所以 t3.t 2t 3所以所求函数定义域为x|x3(2)要使函数有意义需Error!得Error! 得Error!所以所求函数定义域为x|2x 或 x0 或1 52 1 521x 或 x 2
15、 1 52 1 52Error!在同一坐标系中，画出函数 ylog 3x，y ，ylog 2x，y13logx的图像，比一比，看它们之间有何区别与联系12logx活动：教师引导学生回顾作函数图像的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图像及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识计算机画出如下图像图 1可以看到：所有图像都跨越一、四象限，任何两个图像都是交叉出现的，交叉点是(1,0) ；当 a1
16、时，图像向下与 y 轴的负半轴无限靠拢，在点(1,0)的右侧，函数值恒大于 0，对同一自变量 x 而言，底数越大，函数值越小，在点(1,0)的左侧，函数值恒小于 0，对同一自变量 x 而言，底数越大，函数值越大当 0a1 时，图像向上与 y 轴的正半轴无限靠拢，在点(1,0)的左侧，函数值恒大于 0，对同一自变量 x 而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)的右侧，函数值恒小于 0，对同一自变量 x 而言，底数越大，函数值越小以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数 yl
17、og ax，当 y1 时，xa，而 a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线 y1，它同各个图像相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小同时，根据不同图像间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23log 1.53，log 20.5log 30.5，log 0.52log 0.62 等除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小如 log1.50.5 与 log0.50.3，因为 log1.50.50， log0.50.30，所以log1.50.5log 0.50.3.又如 log21.5 与 log0.50.4，因为 log21log 21.5log 22，所以 0log 21.51.又因为 log0.50.4log 0.50.51，所以log0.50.4log 21.5.Error!1对数函数的概念2对数函数的反函数Error!
