1、教学设计换底公式导入新课 思路 1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a0，且 a1，c0 ，且 c1，b0，log ab .教师直接点出logcblogca课题思路 2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容教师板书课题思路 3.从对数的定义可以知道，任意不等于 1 的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以
2、10 为底或以 e 为底的对数就能方便地求出任意不等于 1 的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题推进新课 Error!Error! 已 知 lg 2 0.301 0，lg 3 0.477 1，求 log23的 值 . 根 据 ，如 a0，a 1，你 能 用 含 a的 对 数 式 来 表 示 log23吗 ？ 更 一 般 地 ，我 们 有 logab logcblogca，如 何 证 明 ？ 证 明 logab logcblogca的 依 据 是 什 么 ？ 你 能 用 自 己 的 话 概 括 出 换 底 公 式 吗 ？ 换 底 公 式 的 意 义
3、 是 什 么 ？ 有 什 么 作 用 ？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力对目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对参考的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对借助的思路，利用对数的定义来证明；对根据证明的过程来说明；对抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了讨论结果：因为 lg 20.301 0，lg 30.477 1，根据对数的定义，所以 100
4、.301 02,10 0.477 13.不妨设 log23x，则 2x3，所以(10 0.301 0)x10 0.477 1，100 301 0x10 0.477 1，即 0.301 0x0.477 1 ，x .0.477 10.301 0 lg 3lg 2因此 log23 1.585 1.lg 3lg 2 0.477 10.301 0根据我们看到，最后的结果是 log23 用 lg 2 与 lg 3 表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以 2 为底的对数转换成了以 10 为底的对数，不妨设 log23x，由对数定义知道，2 x3，两边都取以 a 为底的对数，得loga2xl
5、og a3，xlog a2log a3，x ，也就是 log23 .loga3loga2 loga3loga2这样 log23 就表示成了以 a 为底的 3 的对数与以 a 为底的 2 的对数的商证明 logab .logcblogca证明：设 logabx，由对数定义知道，a xb；两边取 c 为底的对数，得 logcaxlog cb xlogcalog cb；所以 x ，即 logab .logcblogca logcblogca一般地，log ab (a0，a1，b0，c0，c 1)称为对logcblogca数换底公式由的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若 M
6、0，N0，MN，则 logaMlog aN.一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值说明：我们使用的计算器中， “log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数如log23 ，lg 3lg 2即计算 log23 的值的按键顺序为：“log”“3”“”“log”“2” “” 再如：在前面要求我国人口达到 18 亿的年份，就是要计算xlog 1.01 ，1813所以xlog 1.01 3
7、2.883 7331813 lg1813lg 1.01 lg 18 lg 13lg 1.01 1.255 3 1.1390.043年可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多Error!思路 1例 1 计算：(1)log 927； (2)log89log2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以 2 为底的对数，以 3 为底的对数也可(1)解： log927 .log327log39 32(2)解法一：log 89log2732 .lg 9lg 8lg 32lg 27 2l
8、g 33lg 25lg 23lg 3 109解法二：log 89log2732 .log29log28log232log227 2log233 53log23 109解法三：log 89log2732 .log39log38log332log327 23log325log323 109点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键例 2 用科学计算器计算下列对数(精确到 0.001)：log248；log 310；log 8；log 550；log 1.0822.解：log2485.585；log 3102.096；log 80.550；log 5502.431；log 1.08228.795.
9、例 3 (1)证明 1log ab；logaxlogabx(2)已知 loga1b1loga 2b2loga nbn，求证：log a1a2an(b1b2bn) .活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以 a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解(1)证法一：设 logax p，log abxq，log abr，则 xa p
10、，x( ab)qa qbq，ba r.所以 ap(ab) qa q(1r )，从而pq(1 r )因为 q0，所以 1r，即 1log ab(获证)pq logaxlogabx证法二：左边 log aab1 log ab右边logaxlogabx logxablogxa(2)证明： 因为 loga1b1loga 2b2loga nbn ，所以由换底公式得 .lg b1lg a1 lg b2lg a2 lg bnlg an由等比定理，所以 .所以lg b1 lg b2 lg bnlg a1 lg a2 lg an.lgb1b2bnlga1a2an所以 loga1a2an(b1b2bn) .lgb
11、1b2bnlga1a2an点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简例 4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的 84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留 1 个有效数字)活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项根据题目给出的数学模型及其含义来解决这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义解：设
12、最初的质量是 1，经过 x 年，剩留量是 y.则经过 1 年，剩留量是 y0.84；经过 2 年，剩留量是 y0.84 2；经过 x 年，剩留量是 y0.84 x.方法一：根据函数关系式列下表根据表内数据描点画出函数的图像x 0 1 2 3 5 y0.84 x 1 0.84 0.71 0.59 0.42 从图中观察，y0.5 时对应有 x4，即约经过 4 年，该物质的剩留量是原来的一半方法二：依题意得 0.84x0.5，用科学计算器计算得xlog 0.840.5 3.98，ln 0.5ln 0.84即约经过 4 年，该物质的剩留量是原来的一半图 2点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难
13、点思路 2例 1 (1)已知 log23a， log37b，用 a，b 表示 log4256.(2)若 log83 p，log 35q，求 lg 5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决解：(1) 因为 log23a，则 log 32，又因为 log37b，1a所以 log4256 .log356log342 log37 3log32log37 log32 1 ab
14、3ab a 1(2)因为 log83p，即 log233p，所以 log233p.所以 log32 .13p又因为 log35q，所以 lg5 .log35log310 log35log32 log35 3pq1 3pq点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练已知 log189a,18 b5，用 a，b 表示 log3645.解：因为 log189a，所以 log18 1log 182a.所以182log1821a.因为 18b5，所以 log185b.所以 log3645 .log1845log1836 log189 log1851
15、log182 a b2 a点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.例 2 设 x， y，z(0，)，且 3x4 y6 z.(1)求证： ；(2)比较 3x,4y,6z 的大小1x 12y 1z活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导(1)利用对数的定义把 x，y ，z 表示出来，根据对数的定义把 3x4 y 6z转化为指数式，求出 x，y ，z，然后计算(2) 在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较(
16、1)证明： 设 3x4 y6 zk，因为 x，y ，z (0，) ，所以k1.取对数，得 x ，y ，z ，lg klg 3 lg klg 4 lg klg 6所以 ，1x 12y lg 3lg k lg 42lg k 2lg 3 lg 42lg k 2lg 3 2lg 22lg k lg 6lg k 1z即 .1x 12y 1z(2)解： 因为 3x4y lg k lg (3lg 3 4lg 4) lg 64 lg 81lg3lg 4k 0，lg klg6481lg 3lg 4所以 3x4 y.又因为 4y 6z lg k lg (4lg 4 6lg 6) lg 36 lg 64lg 2lg
17、 6k 0，lg klg916lg 2lg 6所以 4y6 z.所以 3x4y 6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析例 3 已知 logaxlog acb，求 x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理把对数式转化为指数式求解，或把 b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解由于 x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将 logac 移到等式左端，或者将 b变为对数形式来解解法一：由对数定义，可知 xalog acbalog acabca b.解法二：由已知移项可得 logaxlog acb，即 loga b，由对数xc定义，知 ab，xc所以 xca b.解法三：因为 blog aab，所以 logaxlog aclog aablog acab.所以 xca b.点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用Error!(1)已知 lg 2a，lg 3b，则 等于( )lg 12lg 15A. B. 2a b1 a b a 2b1 a b
