1、2015 年化工工程师基础知识高等数学第四章第四章 微分学的应用一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求1.了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理.2.会用洛必达法则求未定式的极限.3.掌握利用一阶导数判断函数的单调性的方法.4.理解函数的极值概念，掌握利用导数求函数的极值的方法，会解简单一元函数的最大值与最小值的应用题.5.会用二阶导数判断函数图形的凹性及拐点，能描绘简单函数的图形.重点 用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判断函数的单调性与图形凹性及拐点，利用导数求函数的极值的方法以及求简单一元函数的最大值与最小值的应用题.（二）内容提要1. 三个微分中值定理 罗尔（Rolle）
2、定理如果函数 满足下列三个条件：)(xfy在闭区间 上连续;,ba在开区间 内可导;)( ,)()(bfaf则至少存在一点 使 .0)(f 拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数 满足下列两个条件：)(xfy在闭区间 上连续；,ba在开区间 内可导,)(则至少存在一点 ，使得 或 .,)()(abff )()(abfafb 柯西（Cauchy）中值定理如果函数 与 满足下列两个条件：)(xfg在闭区间 上连续；,ba在开区间 内可导，且 ,),( )(,0)(baxg则在 内至少存在一点 ，使得),(.)()(gfabgf2.洛必达法则如果 ;,0)(lim0xfx 0)(li0x 函数
3、 与 在 某个邻域内（点 可除外）可导，且 ；g0x0)(xg ,则),()(lim0 或也 可 为为 有 限 数Axgfx.Axgfxfx )(lim)(li00注意 上述定理对于 时的 型未定式同样适用,对于 或 时的0x型未定式也有相应的法则.3. 函数的单调性定理设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则有)(xf,ba),(ba若在 内 ，则函数 在 上单调增加；,ba0f)(xf若在 内 ，则函数 在 上单调减少.)(x,4 . 函数的极值、极值点与驻点 极值的定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点)(f0x，都有 ，则称 是函数 的极大值；如果对于该邻域
4、内任)(0x)(0xf)(xf一点 ，都有 ，则称 是函数 的极小值.)(f0f函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点 称为函数 的0x)(xf极值点. 驻点 使 的点 称为函数 的驻点.0)(xf )(xf 极值的必要条件 设函数 在 处可导，且在点 处取得极值，那么00x.0)(xf 极值第一充分条件设函数 在点 连续，在点 的某一去心邻域内的任一点 处可导,当 在该邻域)(f0x0xxx内由小增大经过 时，如果0x 由正变负，那么 是 的极大值点， 是 的极大值；)(f 0x)(f )(0xff 由负变正，那么 是 的极小值点， 是 的极小值；x 不改变符号，那么 不是
5、 的极值点. )(f 0x)(f 极值的第二充分条件设函数 在点 处有二阶导数，且 ， ，则 是函数 的)(xf00xf0xf0x)(xf极值点， 为函数 的极值，且有0)(f如果 ，则 在点 处取得极大值；)(xfx0如果 ，则 在点 处取得极小值.0)(f5.函数的最大值与最小值在闭区间上连续函数一定存在着最大值和最小值.连续函数在闭区间上的最大值和最小值只可能在区间内的驻点、不可导点或闭区间的端点处取得.6. 函数图形的凹、凸与拐点曲线凹向定义 若在区间 内曲线 各点的切线都位于该曲线的下方，),(ba)(xfy则称此曲线在 内是向上凹的（简称上凹，或称下凸） ；若曲线 各点的切线都),
6、(ba )(xfy位于曲线的上方，则称此曲线在 内是向下凹的（简称下凹，或称上凸）.),(曲线凹向判定定理 设函数在区间 内具有二阶导数，),(ba 如果在区间 内 ，则曲线 在 内是上凹的.),(ba0)(xf (xfy),ba 如果在区间 内 ，则曲线 在 内是下凹的.)(f拐点 若连续曲线 上的点 是曲线凹、凸部分的分界点，则称点xy),(0yxP是曲线 的拐点.P)(xfy7. 曲线的渐近线水平渐近线 若当 (或 或 )时，有 （ 为常数） ，xxxbxf)(则称曲线 有水平渐近线 .)(xfyby垂直渐近线 若当 (或 或 )（ 为常数）时，有 ，axaxax )(xf则称曲线 有垂
7、直渐近线 .)(xfyax斜渐近线 若函数 满足 ， (其中自变量的)(fyxf)(lim)(limaxfbx变化过程 可同时换成 或 )，则称曲线 有斜渐近线xx)(fy.bay二 、主要解题方法1 . 用洛必达法则求未定式的极限的方法例 1 求下列极限（1） （2） （3）201cotlimxx)eln(cosim3xx )1ln(lim20xx（4） （5） )ln(li0x x1i解 （1）由于 时， ，故原极限为 型，用洛必达法则 tanco0所以 xxxx silim1tli 2020 （分母等价无穷小代换）320coincoslixx.01silm3x31（2） 此极限为 ，可直
8、接应用洛必达法则 所以 =)eln(cosim33xx )eln(icosli 333xxxlim1li33xx.xelicose3cos（3） 所求极限为 型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成 或 型. 0)1ln(lim20xx xxx21lim)1ln(li020.)(li)(li00xx（4）所求极限为 型，得0（ 型）nxnx 100limlli= =10linx .01limli010nxxn（5）此极限为 型，用洛必达法则，得不存在，1sinlicoslimxxxx 但 .0csli1licoslimxxxx小结 使用洛必达法则时，应注意以下几点：（1）洛必达法则可以连续使用
9、，但每次使用法则前，必须检验是否属于 或 未定0型，若不是未定型，就不能使用法则；（2）如果有可约因子，或有非零极限的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤；（3）当 不存在时，并不能断定 也不存在，此时应使用其他方法求)(limxgf )(limxgf极限.2 . 单调性的判别与极限的求法例 2 试证当 时， .1xxe证 令 ，易见 在 内连续，且 .fe)()f),0)1(fe)(xf当 时， 可知 为 上的严格单调减少函数，即xx0x()10.f当 时， ，可知 为 上的严格单调增加函数，xe)(xf()fx),1即 .()f故对任意 有 即 .,1x()0,f .0exxe例 3
10、 求函数 的单调性与极值.34xy解 函数的定义域为 .),(，332xxy令 驻点 ,0,21列表 x),(0)3,( ),3(y 0 0 +极小由上表知，单调减区间为 ，单调增区间为 ，极小值 )3,(),3(427)3(y求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中不能确定 处是否取极值，0,632xyy 0x得 是极小值.9x 427)3(小结 用单调性来证明不等式，其方法是将不等式两边的解析式移到不等式的一边，再令此不等式的左边为函数 ；利用导数判定 的单调性；最后利用已知条件与单)(xf )(xf调性，得到不等式。由例 3 知，用二阶导数讨论函数在某点的极值不需列表也很方便，但它的使
11、用范围有限，对 、 及 同时不存在的点不能使用.0)(f)(ff3. 求函数的凹向及拐点的方法例 4 求函数 的凹向及拐点.)1ln(2xy解 函数的定义域 ，,，,12xy 22)1()1(xxy令 得 ，,0列表 x)1,(1 ( 1,1) 1 ),(y0 + 0 拐点 拐点 由此可知，上凹区间 ,下凹区间 ，曲线的拐点是 .(1)(,1)(,)2ln,1(小结 求函数的凹向与拐点只需用拐点的定义及凹向的判别定理即可，注意拐点也可在使 不存在的点取得.y4. 求函数的最大值与最小值的方法例 5 求函数 在区间 上的最大值与最小值 .32)5(xy,1解 函数在 上连续， 由于 ，,1 3)
12、(0xy令 ， 则 ， 在 处不存在. 故0yxx)1(,0)2(,1max ff,3,7.702,inmiy小结 函数的最大（小）值是整个区间上的最大（小）值，求最大（小）值的一般步骤为（1）求出 在 内的所有驻点及不可导点；（2）求出函数在驻点、不可导点、)(xf,ba区间端点处的函数值；（3）比较这些值的大小，其中最大者即为函数的最大值，最小者即为函数的最小值.5 . 求曲线渐近线的的方法.例 6 求下列曲线的渐近线（1） （2 ） .xyln122xy解 （1）所给函数的定义域为 .),0(由于 ，1limnlixx可知 为 所给曲线 的水平渐近线.0yyln由于 ，xli0可知 为曲
13、线 的铅直渐近线.xyl（2） 所给函数的定义域 , .)1()由于 ， ，2lim)(li211xxf 12lim)(li211xxf可知 为所给曲线的铅直渐近线（在 的两侧 的趋向不同）.1x 1x()fx又 ，axfxx )1(2lim)(li2， bxafxx 12lim)(li)(li2所以 是曲线的一条斜渐近线.1y6 . 函数图形的描绘例 7 作出函数 的图形.2)1(xy解 函数的定义域 ， ),，3421212 xxy，4623 )()(令 ， 解得 .,0y 1,021x列表x),(1 )0,(0 )21,(),21(y+ 0 + + + + + + 0 xf极小 拐点由上
14、表可知： 极小值 ， 1)0(f拐点 .)91,2(（3）渐近线，1)(limli2xyx-1 xyO所以 是水平渐近线，1y，211)(limlixxx所以 是铅直渐近线.（4）作图如图所示.7 . 求实际问题的最大值，最小值的方法例 8 一条边长为 的正方形薄片，从四角各截去一个小方块，然后折成一个无盖的a方盒子，问截取的小方块的边长等于多少时，方盒子的容量最大？解 设截取的小方块的边长为 ，则方盒子的容积为)20(ax3224)()xaxv218令 ， 得驻点 （不合题意，舍去）0)(xv2,61ax由于在 内只有一个驻点，由实际意义可知，无盖方盒子的容积一定有最大值.2,a因此， 当
15、时 取得最大值.6x)(v故当正方形薄片四角各截去一个边长是 的小方块后，折成一个无盖方盒子的容积最6a大 .小结 求最优化问题，关键是在某个范围内建立目标函数 ，若根据实际问题本)(xf身可以断定可导函数 一定存在最大值或最小值，而在所讨论的区间内部 有惟一)(xf )(xf的极值点，则该极值点一定是最值点.三 、学法建议1.本章重点是用洛必达法则求未定式的极限，利用导数判定函数的单调性与凹向及拐点，利用导数求函数的极限的方法以及求简单函数的最大值与最小值问题.2.中值定理是导数应用的理论基础，一定要弄清楚它们的条件与结论.尽管定理中并没有指明 的确切位置，但它们在利用导数解决实际问题与研究函数的性态方面所起的作用仍十分重要.建议在学习过程中借助几何图形，知道几个中值定理的几何解释.3.洛必达法则求极限时，建议参照本章例 1 中的几点注意，并且和教科书第二章求极限的方法结合起来使用.4. 函数的图形是函数的性态的几何直观表示，它有助于我们对函数性态的了解，准确做出函数图形的前提是正确讨论函数的单调性，极值，凹向与拐点以及渐近线等，这就要求读者按教材中指出的步骤完成.
