1、第 5 课时 指数函数(4)教学过程前面几节课我们学习了指数函数的图象和性质,以及利用其性质进行大小比较、不等式求解、图象变换、实际应用问题求解等,本节课主要围绕以下几个方面对由指数函数和其他简单函数构成的复合函数的性质进行研究:(1) 指数型复合函数的定义域与值域;(2) 指数型复合函数的单调性;(3) 与指数函数有关的函数性质综合题.一、 数学运用【例 1】 求下列函数的定义域与值域:(1)y= ; (2)y= ;(3)y= ;(4)y=4x-2x+1-1, x-1, 2.(见学生用书课堂本 P41)处理建议 本题中定义域容易求得 ,即使得函数解析式有意义的 x 的取值集合 .对于第 (1
2、)题求值域而言, 关键是求出 里面 -1的范围;对于第 (2)题求值域而言,求出 2x-x2 的范围后,然后结合指数函数的性质来解决;对于第 (3)题求值域而言,关键是求出 32x-1- 的范围,这个比较容易; 对于第( 4)题求值域而言,需要采用换元法 (令 2x=t),把它转化成二次函数的值域问题.规范板书 解 (1) 由题意得 -10,即 0,解得 x0 且a1),若 f(x)g(x),求实数 x 的取值范围. (见学生用书课堂本 P42)处理建议 需要对 a 进行分类讨论.规范板书 解 由题意得 a-3x+1a2x-5. 当 a1 时, -3x+12x-5,解得 x . 综上所述,当
3、a1 时, x .题后反思 虽然函数 f(x)=a-3x+1, g(x)=a2x-5 都是复合函数,但是本质上仍然可以根据指数函数 y=ax 的性质进行考察.【例 4】 (教材 P71 第 17 题)对于任意的 x1, x2R,若函数 f(x)=2x,试比较 与 f 的大小关系. (见学生用书课堂本 P42)处理建议 结合函数 y=2x 的图象让学生感知结论,再进行证明.规范板书 解 -f = - = ( + -2 )= ( - )20, f .题后反思 对于函数 y=ax 的凹凸性要加以关注,不仅要会利用图象进行判断, 更要会进行严格的论证.变式 若指数函数 y=ax在-1, 1上的最大值与
4、最小值的差是 1,求实数 a 的值.处理建议 需要对 a 分两类进行讨论.规范板书 解 当 a1 时,当 x=1, ymax=a;当 x=-1, ymin= . a- =1, a= . 当 00, 函数的值域为(0, 2) (2, +).2. 求函数 y= 的单调区间 .解 由题意得-x 2+2x0,解得 0x2.令 t= ,则 t= ,当 x0, 1时,t 单调递增;当 x1, 2时,t 单调递减.而函数 y=2t是单调增函数 ,所以函数 y= 的单调增区间为0, 1,单调减区间为 1, 2.3. 若函数 y=ax+1(a0 且 a1)在区间-2, 2上的最大值为 8,求实数 a的值.解 当 a1 时,由题意得 a3=8,解得 a=2;当 0a1 时,由题意得 a-1=8,解得 a= .综上所述, a=2 或 .三、 课堂小结本节课根据指数函数的图象及性质讨论了由指数函数和其他简单函数构成的复合函数的性质,其中包括复合函数的定义域与值域、复合函数的单调性,在判断复合函数的单调性时应遵循“ 同增异减”的法则.
