1、第二章 对偶问题与灵敏度分析一、写出下列线性规划的对偶问题1、P89,2.1(a) 3214minxxZs.t .,0,;5;321无x解：原模型可化为 3214minZs.t .,0,;5-;3321321321无xy于是对偶模型为 3215mayyWs.t .,0,;443;321无y2、P89,2.1(b) 32165maxxZs.t .0,;874;321xx无解：令 03x原模型可化为 32165maxxZs.t .0,;83-745;2321211xxy无于是对偶模型为 32185minyyWs.t 或.0,;3267;4211yy无 .0,;3675;42121yy无二、灵敏度分
2、析1、P92, 2.11 线性规划问题 213maxZs.t 0,5;7421x最优单纯形表如下CJ 3 1 0 0CB XB b x1 x2 x3 x43 x1 4/3 1 0 2/3 -1/31 X2 5/3 0 1 -5/3 4/3j0 0 -1/3 -1/3试用灵敏度分析的方法，分析：（1） 目标函数中的系数 分别在什么范围内变化，最优解不变？21,c（2） 约束条件右端常数项 分别在什么范围内变化，最优基保持不变？b解：（1） 的分析：要使得最优解不变，则需1c即 034105243c4251c所以： 时可保持最优解不变。251的分析：要使得最优解不变，则需2c即 034105224
3、3c43562c所以： 时可保持最优解不变。562（2） 的分析：要使得最优基保持不变，则需1b 03451-2103/45-/2bB即 031-b81b所以： 时可保持最优基不变。851的分析：要使得最优基保持不变，则需2b 0345-173/451-/2221 bbbB即 03-42b412所以： 时可保持最优基不变。14522、P92, 2.12 已知线性规划问题321maxxZ0,46321x先用单纯形法求最优解，在讨论下列问题：(1)目标函数中变量 的系数在什么范围内变化，最优解不变？321,(2)两个约束的右端项分别在什么范围内变化，最优基不变？(3)增加一个新的约束 ，寻找新的最
4、优解。21x解：化标准型：0426513ixx列表求解： jC2 -1 1 0 0BBXb1x23x45x0 4x6 【1】1 1 1 00 54 -1 2 0 0 1j2 -1 1 0 02 1x6 1 1 1 1 00 510 0 3 1 1 1j0 -4 -2 -3 0已得最优解 ，其余变量均为 0.1,651x（1） 的分析：要使最优解不变，必须c01432c1c的分析：要使最优解不变，必须2c 2c的分析：要使最优解不变，必须3c023c（2） ） 的分析：要使得最优基不变，则需1b0401bB 01b的分析：要使得最优基不变，则需2b061011 bB 61b3、P92, 2.13
5、 已知线性规划问题 213maxxZ0,21-86.112xts用单纯形法求解得最终单纯形表如下。 jC3 2 0 0 0 0BBXb1x3x45x62 2x4/3 0 1 2/3 -1/3 0 03 1x10/3 1 0 -1/3 2/3 0 00 53 0 0 -1 1 1 00 6x2/3 0 0 -2/3 1/3 0 1j0 0 -1/3 -4/3 0 0试用灵敏度分析的方法，分析：（1）目标函数中的系数 在什么范围内变化，最优解不变？21,c（2）约束条件右端常数项 在什么范围内变化，最优基保持不变？43b（3）增加变量 ，其在目标中的系数 ，重新确定最优解；7x TPC)2,31(
6、,47（4）增加一个新的约束 ，重新确定最优解。31解：（1） 的分析：要使得最优解不变，则需1c 03201413c14c41c的分析：要使得最优解不变，则需2c02c310436c236c23（2） 的分析：要使得最优基不变，则需3b0321348603120312331 bbB 23b的分析：要使得最优基不变，则需4b034134860312031241 bbB 34b（3） 24103132132P717B增加变量 到最终表中，由于 ，故需继续迭代找到新的最优解，详见下7x07表：jC3 2 0 0 0 0 4BBXb1x3x45x67x2 2x4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0
7、 03 110/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 10 5x3 0 0 -1 1 1 0 40 62/3 0 0 -2/3 1/3 0 1 【2】j0 0 -1/3 -4/3 0 0 12 2x4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 03 13 1 0 0 1/2 0 -1/2 00 5x5/3 0 0 1/3 1/3 1 -2 04 71/3 0 0 -1/3 1/6 0 1/2 1j0 0 0 -3/2 0 -1/2 0所有的 ，故得新的最优解 。0j 31,5,34721 xx无（4）由于原解不满足 ，故不是可行解。将新约束化为等式约束，即31x71x将新约束加到原表中，列表用对偶
8、单纯形法重新计算。 jC3 2 0 0 0 0 4BBXb1x23x45x67x2 2x4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 03 110/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 00 5x3 0 0 -1 1 1 0 00 62/3 0 0 -2/3 1/3 0 1 00 7x3 1 0 0 0 0 0 1j0 0 -1/3 -4/3 0 0 02 2x4/3 0 1 2/3 -1/3 0 0 03 110/3 1 0 -1/3 2/3 0 0 00 5x3 0 0 -1 1 1 0 00 62/3 0 0 -2/3 1/3 0 1 00 7x-1/3 0 0 1/3 【-2/3】 0 0
9、 1j0 0 -1/3 -4/3 0 0 02 2x3/2 0 1 1/2 0 0 0 -1/23 13 1 0 0 0 0 0 10 5x5/2 0 0 -1/2 0 1 0 3/20 61/2 0 0 -1/2 0 0 1 1/20 7x1/2 0 0 -1/2 1 0 0 -3/2j0 0 -1 0 0 0 -2由上表知新的最优解 。2,25,37621 xxx无3、P94，2.16 某厂生产 A、B、C 三种产品，其所需劳动力、材料等等数据见下表。要求：产品消耗定额A B C 可用量劳动力(h) 6 3 5 450资源材料（kg） 3 4 5 30产品利润（元/件） 30 10 40（
10、1） 确定获利最大的产品生产计划；（2） 产品 A 的利润在什么范围内变化时，上述最有计划不需改变？（3） 如果设计一种新产品 D，单件劳动力消耗为 8h，材料消耗为 2kg，每件获利 30 元，问该种产品是否值得生产？（4） 如果原材料数量不增，劳动力不足时可从市场雇佣，费用为 1.8 元/h ，问该厂要不要雇佣扩大生产？以雇佣多少为宜？解：(1)设 A、 B、C 三种产品各生产 件，建立模型如下：321,x;0,;35436.1max Z212xtsx材 料 约 束劳 动 力 约 束求解该模型，得最优解 ，最大利润 300 元。最终表如下：330 10 40 0 0BCBXb1x23x45x0 4x390 0 -5 -5 1 -230 110 1 4/3 5/3 0 1/3j0 -30 -10 0 -10(2)设 A 产品的利润为 ，则要使得最优计划不变，需1c.031;545312c024511c241c即 A 的利润高于 24 元时不需改变生产计划。（3）设新产品 D 生产 件，其资源消耗向量 ，在最终表中的结果为6xTP)2,8(6 3/4/10B61-6P其检验数为 ，增加该产品的生产可以增加总利润。3/24),0(36 (4) 因劳动力的影子价格（ 的检验数）为 0（1.8） ，因而增加劳动力对利润4x无益，故不需要雇佣劳动力。
