1、第 5章 大数定律和中心极限定理5.2 中心极限定理本章主要内容u5.1 大数定律u5.2 中心极限定理5.2.1 独立同分布的中心极限定理5.2.2 二项分布的正态近似第 5章 大数定律和中心极限定理多个随机变量的算术平均的渐近性质独立随机变量和的极限分布5.2 中心极限定理【例 5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的 。考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响：(1) 在机床方面有机床振动与转速的影响；(2) 在刀具方面有装配与磨损的影响；(3) 在材料方
2、面有钢材的成分、产地的影响；(4) 在操作者方面有注意力集中程度、当天情绪的影响；(5) 在测量方面有度量工具误差、测量技术的影响；5.2 中心极限定理【例 5.4】大量的研究表明，误差产生是由大量微小的相互独立的随机因素叠加而成的 。考虑一位操作工在机床上加工机械轴，要求其直径应符合规定要求。但加工后的机械轴与规定要求总会有一定误差，这是因为在加工时受到一些随机因素的影响：(6)在环境方面有车间温度、湿度、照明、工作电压的影响；(7) 在具体场合还可列出许多其他影响因素5.2 中心极限定理u由于这些独立因素很多u每个因素对加工精度的影响都是很微小的u每个因素的出现又都是人们无法控制的、随机的
3、、时有时无、时正时负的u这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差YnuYn是随机变量： Yn = X1 + X2 + Xnu这里 n是很大的， 当 n时 ， Yn的分布是什么？5.2 中心极限定理uYn = X1 + X2 + Xnu当时 n时 ， Yn的分布是什么？u当然，可以考虑用卷积公式去计算 Yn的分布u但这样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现的u即使能写出 Yn的分布，但由于其形式复杂而无法使用本节研究u在相当一般的条件下，独立同分布的随机变量的和的分布的收敛问题 .5.2 中心极限定理5.2.1 独立同分布的中心极限定理【 定理 5.5】 （独立同分布的中心极限
4、定理）设 X1， X2， ， Xn， 为相互独立、服从同一分布的随机变量序列，且 E(Xi) = ， D(Xi) = 2 0（ i = 1， 2， ），则对于任意 x，有u林德伯格 -莱维 (Lindeberg-Levy)定理u该定理是这两位学者在上世纪 20年代证明的5.2 中心极限定理林德伯格 (Lindeberg , 1876-1932)u芬兰数学家，因中心极限定理而著名u林德贝格就读于赫尔辛基大学u早期对偏微分方程和积分变换感兴趣u从 1920年开始转向概率统计，当年发表了第一篇中心极限定理的论文u两年后，他用同样的方法得到了更进一步的结论林德贝格条件5.2 中心极限定理林德伯格 (Lindeberg , 1876-1932)u瑞典数学家克拉美 1922年结识了林德贝格，后来克拉美曾向人讲起关于林德贝格和他的美丽农场的故事：u当有人责备林德贝格没有充分开展科学研究的时候，林德贝格就说 “我其实是个农夫 ”u当有人提及他的农场不适合种植的时候，他就会说 “当然，我真正的工作是当教授 ” 5.2 中心极限定理莱维 (Levy， 1886-1971)u法国数学家，现代概率论开拓者之一u曾在巴黎圣艾蒂安矿业学校、巴黎综合工科学校任教 .u主要研究概率论和泛函分析u他引入分布律的莱维距离、散布函数和集结函数、鞅、局部时等概念，对极限理论和随机过程理论作出了重要贡献
