1、第二章第二章 化工数学模型基础化工数学模型基础任课老师：程道建 副教授E-mail: 本章内容 2.1 拟合建模方法拟合建模方法 2.2 迭代法求解非线性方程迭代法求解非线性方程 2.3 求解线性方程组求解线性方程组 2.3 求微分方程数值解求微分方程数值解 2.1 拟合建模方法拟合建模方法示例 实验测得二甲醇（ DME）的饱和蒸气压和温度的关系（见表），其具体关系是什么样的呢？序号 温度 蒸气压 MPa1 -23.7 0.1012 -10 0.1743 0 0.2544 10 0.3595 20 0.4956 30 0.6627 40 0.880化工实际问题的提出 1、线性拟合（一元一次）给
2、定一组数据（ xi, yi） ,i=1, 2 , , m ，作拟合直线p (x)=a + bx , 均方误差为 ：按二元函数求极值的理论， Q (a , b)的极小值需满足方程组： 解此联立方程：2.1 拟合建模方法拟合建模方法 2、非线性拟合（一元二次） 给定数据（ xi ,yi), i=1, 2 , , m ,用二次多项式函数拟合这组数据。 设 ， 作出拟合函数与数据序列的均方误差表达式由数学知识可知， Q( a0 ,a1 ,a2 )的极小值满足 ：2.1 拟合建模方法拟合建模方法 2、非线性拟合（一元二次）整理得二次多项式函数拟合的满足条件方程： 解此方程得到在均方误差最小意义下的拟合函
3、数p ( x )。上式称为多项式拟合的法方程。法方程的系数矩阵是对称的。当拟合多项式 n 5时，法方程的系数矩阵是病态的，使用 直接迭代法 求解线性方程时会发散，要采用一些特殊算法 （ Newton迭代法 ） 。2.1 拟合建模方法拟合建模方法 示例解决1）采用线性拟合（一元一次） ： 由表的数据观测可得， DME的饱和蒸气压和温度有正相关关系，如果以函数 p=a+bt来拟合 ,则拟合函数是一条直线。通过计算均方误差 Q ( a , b )最小值而确定直线方程。拟合得到直线方程为： 相关系数 R为 0.97296，平均绝对偏差 SD为 0.0707。 2.1 拟合建模方法拟合建模方法 示例解决
4、2）非线性拟合（一元二次） ：通过计算下述均方误差拟合得二次方程为相关系数 R为 0.99972，平均绝对偏差 SD为 0.00815,具体拟合曲线见右图。 2.1 拟合建模方法拟合建模方法 示例解决（ 相关系数 R为 0.99972，平均绝对偏差 SD为 0.00815 ）DME饱和蒸气压和温度之间的二次拟合 DME饱和蒸气压和温度之间的一次线性拟合 （相关系数 R为 0.97296，平均绝对偏差 SD为 0.0707）结论： 通过比较左右图以及各自的相关系数和平均绝对偏差可知，发现对于DME饱和蒸气压和温度之间的关系，用二次曲线拟合优于线性拟合。2.1 拟合建模方法拟合建模方法 3、多变量的曲线拟合 前面介绍的曲线拟合方法只涉及单变量函数的曲线拟合，但实际在化工实验数据处理及模型参数拟合时，通常会碰到多变量的参数拟合问题。一个典型的例子是传热实验中努塞尔数、雷诺数及普朗特数之间的拟合问题： 根据若干组实验测得的数据（ Nu， Re， Pr），如何求出式中的参数 c1、 c2、 c3，这是一个有两个变量的参数拟合问题。2.1 拟合建模方法拟合建模方法
